H квадрат - H square

В математика и теория управления, ЧАС², или же H-квадрат это Харди космос с квадратной нормой. Это подпространство L² Космос, и, таким образом, является Гильбертово пространство. В частности, это воспроизводящее ядро ​​гильбертова пространства.

На единичном круге

В целом элементы L² на единичной окружности задаются

${displaystyle sum _{n=-infty }^{infty }a_{n}e^{invarphi }}$

тогда как элементы ЧАС² даны

${displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}e^{invarphi }.}$

Проекция от L² к ЧАС² (установив а_п = 0, когда п <0) ортогонален.

В полуплоскости

В Преобразование Лапласа ${displaystyle {mathcal {L}}}$ данный

${displaystyle [{mathcal {L}}f](s)=int _{0}^{infty }e^{-st}f(t)dt}$

можно понимать как линейный оператор

${displaystyle {mathcal {L}}:L^{2}(0,infty ) o H^{2}left(mathbb {C} ^{+}ight)}$

куда ${displaystyle L^{2}(0,infty )}$ это набор квадратично интегрируемый функции на положительной действительной числовой прямой, и ${displaystyle mathbb {C} ^{+}}$ правая половина комплексной плоскости. Это больше; это изоморфизм, в том, что он обратим, и он изометрический, в этом он удовлетворяет

${displaystyle |{mathcal {L}}f|_{H^{2}}={sqrt {2pi }}|f|_{L^{2}}.}$

Преобразование Лапласа - это «половина» преобразования Фурье; из разложения

${displaystyle L^{2}(mathbb {R} )=L^{2}(-infty ,0)oplus L^{2}(0,infty )}$

тогда получается ортогональное разложение из ${displaystyle L^{2}(mathbb {R} )}$ на два пространства Харди

${displaystyle L^{2}(mathbb {R} )=H^{2}left(mathbb {C} ^{-}ight)oplus H^{2}left(mathbb {C} ^{+}ight).}$

По сути, это Теорема Пэли-Винера.

Смотрите также

• ЧАС_∞

Рекомендации

• Джонатан Р. Партингтон, «Линейные операторы и линейные системы, аналитический подход к теории управления», Тексты студентов Лондонского математического общества 60, (2004) Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-54619-2.