Пространство Хэмминга - Hamming space

Пространство Хэмминга двоичных строк длины 3. Расстояние между вершинами в куб граф равно Расстояние Хэмминга между струнами.

В статистика и теория кодирования, а Hamming Космос обычно набор всех ${displaystyle 2^{N}}$ двоичные строки длины N.^[1][2] Он используется в теории кодирования сигналов и передачи.

В более общем смысле пространство Хэмминга можно определить над любым алфавит (набор) Q как набор слова фиксированной длины N с письмами от Q.^[3][4] Если Q это конечное поле, то пространство Хэмминга над Q является N-размерный векторное пространство над Q. Таким образом, в типичном двоичном случае поле имеет вид GF (2) (также обозначается Z₂).^[3]

В теории кодирования, если Q имеет q элементы, то любые подмножество C (обычно предполагается мощность по крайней мере два) из N-мерное пространство Хэмминга над Q называется q-ary код длины N; элементы C называются кодовые слова.^[3][4] В случае, когда C это линейное подпространство пространства Хэмминга, она называется линейный код.^[3] Типичным примером линейного кода является Код Хэмминга. Коды, определенные через пространство Хэмминга, обязательно имеют одинаковую длину для каждого кодового слова, поэтому они называются блочные коды когда необходимо отличить их от коды переменной длины которые определяются единственной факторизацией на моноиде.

В Расстояние Хэмминга наделяет пространство Хэмминга метрика, что важно для определения основных понятий теории кодирования, таких как коды обнаружения и исправления ошибок.^[3]

Также рассматривались пространства Хэмминга над неполевыми алфавитами, особенно над конечные кольца (особенно более Z₄ ) вызывая модули вместо векторных пространств и кольцевые линейные коды (идентифицировано с подмодули ) вместо линейных кодов. Типичная метрика, используемая в этом случае, Расстояние Ли. Есть Серая изометрия между ${displaystyle mathbb {Z} _{2}^{2m}}$ (т.е. GF (2^2м)) с расстоянием Хэмминга и ${displaystyle mathbb {Z} _{4}^{m}}$ (также обозначается как GR (4, m)) с расстоянием Ли.^[5][6][7]

Рекомендации

1. Бейлис, Д. Дж. (1997), Коды с исправлением ошибок: математическое введение, Серия математики Чепмена Холла / CRC, 15, CRC Press, стр. 62, ISBN  9780412786907
2. Cohen, G .; Хонкала, I .; Лицын, С .; Лобштейн, А. (1997), Коды покрытия, Математическая библиотека Северной Голландии, 54, Elsevier, стр. 1, ISBN  9780080530079
3. Дерек Дж. Робинсон (2003). Введение в абстрактную алгебру. Вальтер де Грюйтер. С. 254–255. ISBN  978-3-11-019816-4.
4. Коэн и др., Коды покрытия, п. 15
5. Маркус Греферат (2009). «Введение в теорию линейного кодирования». В Массимилиано Сала; Тео Мора; Людовик Перре; Сёдзиро Саката; Карло Траверсо (ред.). Основы Грёбнера, кодирование и криптография. Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-93806-4.
6. http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Kerdock_and_Preparata_codes
7. J.H. ван Линт (1999). Введение в теорию кодирования (3-е изд.). Springer. Глава 8: Коды закончились ℤ₄. ISBN  978-3-540-64133-9.