Гармоническое вейвлет-преобразование - Harmonic wavelet transform

в математика из обработка сигналов, то гармоническое вейвлет-преобразование, представлен Дэвид Эдвард Ньюленд в 1993 г. вейвлет -основное линейное преобразование заданной функции в частотно-временное представление. Он сочетает в себе преимущества кратковременное преобразование Фурье и непрерывное вейвлет-преобразование. Это может быть выражено в виде повторяющихся Преобразования Фурье, а его дискретный аналог можно эффективно вычислить с помощью быстрое преобразование Фурье алгоритм.

Гармонические вейвлеты

Преобразование использует семейство "гармонических" вейвлетов, индексированных двумя целыми числами. j («уровень» или «порядок») и k («перевод»), данный ${displaystyle w(2^{j}t-k)!}$, куда

${displaystyle w(t)={frac {e^{i4pi t}-e^{i2pi t}}{i2pi t}}.}$

Эти функции ортогональны, а их преобразования Фурье представляют собой квадрат оконная функция (постоянный в определенной октавной полосе и ноль в другом месте). В частности, они удовлетворяют:

${displaystyle int _{-infty }^{infty }w^{*}(2^{j}t-k)cdot w(2^{j'}t-k'),dt={frac {1}{2^{j}}}delta _{j,j'}delta _{k,k'}}$

${displaystyle int _{-infty }^{infty }w(2^{j}t-k)cdot w(2^{j'}t-k'),dt=0}$

где "*" означает комплексное сопряжение и ${displaystyle delta }$ является Дельта Кронекера.

В порядке j увеличивается, эти вейвлеты становятся более локализованными в пространстве Фурье (частоте) и в более высоких частотных диапазонах и, наоборот, становятся менее локализованными во времени (т). Следовательно, когда они используются как основа для расширения произвольной функции они представляют поведение функции в разных временных масштабах (и в разных временных смещениях для разных k).

Однако можно объединить все отрицательные заказы (j <0) вместе в единое семейство «масштабирующих» функций ${displaystyle varphi (t-k)}$ куда

${displaystyle varphi (t)={frac {e^{i2pi t}-1}{i2pi t}}.}$

Функция φ ортогонален себе для разных k а также ортогонален вейвлет-функциям для неотрицательных j:

${displaystyle int _{-infty }^{infty }varphi ^{*}(t-k)cdot varphi (t-k'),dt=delta _{k,k'}}$

${displaystyle int _{-infty }^{infty }w^{*}(2^{j}t-k)cdot varphi (t-k'),dt=0{ ext{ for }}jgeq 0}$

${displaystyle int _{-infty }^{infty }varphi (t-k)cdot varphi (t-k'),dt=0}$

${displaystyle int _{-infty }^{infty }w(2^{j}t-k)cdot varphi (t-k'),dt=0{ ext{ for }}jgeq 0.}$

Следовательно, в гармоническом вейвлет-преобразовании произвольная действительная или комплексная функция ${displaystyle f(t)}$ (в L2 ) раскладывается по базису гармонических всплесков (для всех целых чисел j) и их комплексные конъюгаты:

${displaystyle f(t)=sum _{j=-infty }^{infty }sum _{k=-infty }^{infty }left[a_{j,k}w(2^{j}t-k)+{ ilde {a}}_{j,k}w^{*}(2^{j}t-k)ight],}$

или альтернативно в основе вейвлетов для неотрицательных j дополнены функциями масштабирования φ:

${displaystyle f(t)=sum _{k=-infty }^{infty }left[a_{k}varphi (t-k)+{ ilde {a}}_{k}varphi ^{*}(t-k)ight]+sum _{j=0}^{infty }sum _{k=-infty }^{infty }left[a_{j,k}w(2^{j}t-k)+{ ilde {a}}_{j,k}w^{*}(2^{j}t-k)ight].}$

Коэффициенты разложения в принципе могут быть вычислены с использованием соотношений ортогональности:

${displaystyle {egin{aligned}a_{j,k}&{}=2^{j}int _{-infty }^{infty }f(t)cdot w^{*}(2^{j}t-k),dt{ ilde {a}}_{j,k}&{}=2^{j}int _{-infty }^{infty }f(t)cdot w(2^{j}t-k),dta_{k}&{}=int _{-infty }^{infty }f(t)cdot varphi ^{*}(t-k),dt{ ilde {a}}_{k}&{}=int _{-infty }^{infty }f(t)cdot varphi (t-k),dt.end{aligned}}}$

Для действительной функции ж(т), ${displaystyle { ilde {a}}_{j,k}=a_{j,k}^{*}}$ и ${displaystyle { ilde {a}}_{k}=a_{k}^{*}}$ таким образом, можно вдвое сократить количество независимых коэффициентов расширения.

Это расширение обладает свойством, аналогичным Теорема Парсеваля, который:

${displaystyle {egin{aligned}&sum _{j=-infty }^{infty }sum _{k=-infty }^{infty }2^{-j}left(|a_{j,k}|^{2}+|{ ilde {a}}_{j,k}|^{2}ight)&{}=sum _{k=-infty }^{infty }left(|a_{k}|^{2}+|{ ilde {a}}_{k}|^{2}ight)+sum _{j=0}^{infty }sum _{k=-infty }^{infty }2^{-j}left(|a_{j,k}|^{2}+|{ ilde {a}}_{j,k}|^{2}ight)&{}=int _{-infty }^{infty }|f(x)|^{2},dx.end{aligned}}}$

Однако вместо того, чтобы вычислять коэффициенты разложения непосредственно из соотношений ортогональности, это можно сделать, используя последовательность преобразований Фурье. Это намного эффективнее в дискретном аналоге этого преобразования (дискретное т), где он может использовать быстрое преобразование Фурье алгоритмы.

Рекомендации

• Дэвид Э. Ньюленд, "Гармонический вейвлет-анализ". Труды Лондонского королевского общества, серия A (математические и физические науки), т. 443, нет. 1917, стр. 203–225 (8 октября 1993 г.).
• Вейвлеты: ключ к прерывистой информации Б. В. Сильверман и Дж. К. Вассиликос, Oxford University Press, 2000. (ISBN  0-19-850716-X)
• Б. Боашаш, редактор, «Частотно-временной анализ и обработка сигналов - исчерпывающий справочник», Elsevier Science, Oxford, 2003.