Принцип максимума Хаусдорфа - Hausdorff maximal principle
В математика, то Принцип максимума Хаусдорфа является альтернативной и более ранней формулировкой Лемма Цорна доказано Феликс Хаусдорф в 1914 г. (Мур 1982: 168). В нем говорится, что в любом частично заказанный набор, каждый полностью заказанный подмножество содержится в максимальном вполне упорядоченном подмножестве.
Принцип максимума Хаусдорфа - одно из многих утверждений, эквивалентных аксиома выбора над ZF (Теория множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора). Принцип также называют Теорема Хаусдорфа о максимальности или Лемма Куратовского (Келли 1955: 33).
Заявление
Принцип максимума Хаусдорфа утверждает, что в любом частично заказанный набор, каждый полностью заказанный подмножество содержится в максимальном полностью упорядоченном подмножестве (полностью упорядоченном подмножестве, которое при любом увеличении не остается полностью упорядоченным). В общем, может быть много максимальных полностью упорядоченных подмножеств, содержащих данное полностью упорядоченное подмножество.
Эквивалентная форма принципа максимума Хаусдорфа состоит в том, что в каждом частично упорядоченном множестве существует максимальное полностью упорядоченное подмножество. Чтобы доказать, что это утверждение следует из исходного вида, пусть А быть частично упорядоченным множеством. потом полностью упорядоченное подмножество А, следовательно, существует максимальное вполне упорядоченное подмножество, содержащее , следовательно, в частности А содержит максимальное вполне упорядоченное подмножество. Для обратного направления пусть А быть частично упорядоченным множеством и Т полностью упорядоченное подмножество А. потом
частично упорядочен включением множества , поэтому он содержит максимальное вполне упорядоченное подмножество п. Тогда набор удовлетворяет желаемым свойствам.
Доказательство эквивалентности принципа максимума Хаусдорфа лемме Цорна очень похоже на это доказательство.
Примеры
ПРИМЕР 1. Если А любой набор множеств, отношение "является собственным подмножеством" является строгий частичный порядок на А. Предположим, что А - это совокупность всех круговых областей (внутренностей кругов) на плоскости. Одна максимальная полностью упорядоченная подгруппа А состоит из всех круговых областей с центрами в начале координат. Другая максимальная полностью упорядоченная подгруппа состоит из всех круговых областей, ограниченных окружностями, касающимися справа к оси y в начале координат.
ПРИМЕР 2. Если (x0, y0) и (x1, y1) - две точки плоскости ℝ2, определим (x0, y0) <(x1, y1)
если да0 = y1 и х0 <х1. Это частичное упорядочение ℝ2 при котором две точки сравнимы, только если они лежат на одной горизонтальной линии. Максимальные вполне упорядоченные множества - это горизонтальные прямые в ℝ2.
Рекомендации
- Джон Келли (1955), Общая топология, Фон Ностранд.
- Грегори Мур (1982), Аксиома выбора Цермело, Springer.
- Джеймс Мункрес (2000), Топология, Пирсон.