Гейзенбергский путь к матричной механике - Heisenbergs entryway to matrix mechanics - Wikipedia
Для получения дополнительной информации см. Введение в квантовую механику.
Для получения полной информации по конкретной теме квантовой физики см. Матричная механика.
Вернер Гейзенберг способствовал развитию науки в тот момент, когда старая квантовая физика открывала область, усеянную все большим количеством камней преткновения. Он решил, что квантовую физику нужно переосмыслить с нуля. При этом он удалил несколько предметов, которые были основаны на классической физике и ее моделировании макромира. Гейзенберг решил основывать свою квантовую механику «исключительно на отношениях между величинами, которые в принципе наблюдаемы».[1] Поступив так, он построил вход в матричную механику.
Он заметил, что тогда нельзя использовать какие-либо утверждения о таких вещах, как «положение и период обращения электрона».[2] Скорее, чтобы добиться истинного прогресса в понимании излучения в простейшем случае, излучения возбужденных атомов водорода, нужно было работать с измерениями только частот и интенсивности спектра ярких линий водорода.
В классической физике интенсивность каждой частоты света, производимого в излучающей системе, равна квадрату амплитуды излучения на этой частоте, поэтому внимание в дальнейшем было обращено на амплитуды. Классические уравнения, которые Гейзенберг надеялся использовать для составления квантовых теоретических уравнений, сначала давали бы амплитуды, а в классической физике можно было вычислить интенсивности, просто возведя амплитуды в квадрат. Но Гейзенберг видел, что «самым простым и естественным предположением было бы» [3] следовать примеру недавней работы Крамерса по вычислению световой дисперсии.[4] Работа, которую он проделал, помогая Крамерсу в прошлом году[5] теперь дал ему важный ключ к пониманию того, как моделировать, что происходит с возбужденным газообразным водородом, когда он излучает свет, и что происходит, когда входящее излучение одной частоты возбуждает атомы в диспергирующей среде, а затем энергия, доставляемая входящим светом, переизлучается - иногда на исходной частоте, но часто на двух более низких частотах, сумма которых равна исходной частоте. Согласно их модели, электрон, который был переведен в состояние с более высокой энергией, принимая энергию входящего фотона, мог бы за один шаг вернуться в свое положение равновесия, повторно излучая фотон той же частоты, или он мог бы вернуться в более чем один шаг, излучая один фотон за каждый шаг в своем возвращении в состояние равновесия. Поскольку факторы сводятся к минимуму при выводе нового уравнения на основе этих соображений, результат оказывается относительно простым.
Развитие полной квантово-механической теории
Вернер Гейзенберг использовал идею, что, поскольку классическая физика верно, когда оно применяется к явлениям в мире вещей, больших, чем атомы и молекулы, оно должно стоять как частный случай более всеобъемлющей квантовой теоретической модели. Поэтому он надеялся, что сможет модифицировать квантовую физику таким образом, чтобы, когда параметры были в масштабе обычных объектов, она выглядела бы точно так же, как классическая физика, но когда параметры были доведены до атомного масштаба, неоднородности, наблюдаемые в таких вещах, как широко разнесенные частоты видимого спектра ярких линий водорода вернутся в поле зрения.
Единственное, что люди в то время больше всего хотели понять об излучении водорода, - это как предсказать или учесть интенсивность линий в его спектре. Хотя Гейзенберг не знал этого в то время, общий формат, который он разработал для выражения своего нового способа работы с квантовыми теоретическими вычислениями, может служить рецептом для двух матриц и того, как их умножить.[6]
В новаторской статье 1925 года Гейзенберга матрицы не используются и даже не упоминаются. Большим достижением Гейзенберга была «схема, которая в принципе была способна однозначно определять соответствующие физические свойства (частоты и амплитуды переходов)».[7] водородного излучения.
После того, как Гейзенберг написал свою новаторскую работу, он передал ее одному из своих старших коллег для внесения необходимых исправлений и отправился в заслуженный отпуск. Макс Борн ломал голову над уравнениями и некоммутирующими уравнениями, которые Гейзенберг считал неприятными и тревожными. Через несколько дней он понял, что эти уравнения представляют собой инструкции для записи матриц. Матрицы были немного не в своем роде даже для математиков того времени, но как делать с ними математику, было уже ясно установлено. Он и несколько коллег взяли на себя задачу проработать все в матричной форме до того, как Гейзенберг вернулся из отпуска, и через несколько месяцев новая квантовая механика в матричной форме легла в основу другой статьи.
Когда такие величины, как положение и импульс упоминаются в контексте матричной механики Гейзенберга, важно иметь в виду, что такое утверждение, как pq ≠ qp не относится ни к одному значению п и одно значение q а к матрице (сетке значений, упорядоченной определенным образом) значений положения и матрице значений импульса. Так размножаясь п раз q или же q раз п действительно говорит о матричное умножение из двух матриц. Когда две матрицы перемножаются, получается третья матрица.
Макс Борн увидел, что когда матрицы, представляющие pq и qp были рассчитаны, что им не будет равных. Гейзенберг уже видел то же самое с точки зрения своего первоначального способа формулирования вещей, и Гейзенберг, возможно, догадался о том, что почти сразу же было очевидно для Борна, - что разница между матрицами ответов для pq и для qp всегда будет включать два фактора, которые вытекают из первоначальной математики Гейзенберга: постоянная Планка час и я, который представляет собой квадратный корень из отрицательного. Таким образом, сама идея того, что Гейзенберг предпочитал называть «принципом неопределенности» (обычно известный как принцип неопределенности), таилась в исходных уравнениях Гейзенберга.
Поль Дирак решил, что суть работы Гейзенберга заключается в самой особенности, которую Гейзенберг изначально считал проблематичной, - в факте некоммутативности, например, между умножением матрицы импульса на матрицу смещения и умножением матрицы смещения на матрицу импульса. Это понимание привело Дирака к новым продуктивным направлениям.[8]
Принцип неопределенности
Один из старших Гейзенберга, Макс Борн объяснил, как он взял свой странный «рецепт», данный выше, и обнаружил нечто новаторское:[9]
Рассмотрев ... примеры ... [Гейзенберг] обнаружил это правило ... Это было летом 1925 года. Гейзенберг ... взял отпуск ... и передал мне свою статью для публикации ... ..
Правило умножения Гейзенберга не оставило мне покоя, и после недели интенсивных размышлений и испытаний я внезапно вспомнил об алгебраической теории ... Такие квадратичные массивы хорошо знакомы математикам и называются матрицами в связи с определенным правилом умножения. . Я применил это правило к квантовому условию Гейзенберга и обнаружил, что оно соответствует диагональным элементам. Легко было догадаться, какими должны быть оставшиеся элементы, а именно null; и тут же передо мной предстала странная формула
-
[Символ Q - матрица смещения, п - матрица импульса, я обозначает квадратный корень из отрицательного, а час - постоянная Планка.[10]]
-
Эта формула является основой принципа неопределенности Гейзенберга, выведенного из математики. Квантовая механика сильно ограничивает точность, с которой можно измерить свойства движущихся субатомных частиц. Наблюдатель может точно измерить либо положение (смещение), либо импульс, но не то и другое вместе. В пределе, измерение одной переменной с полной точностью повлечет за собой полное отсутствие точности в измерении другой.
Уравнение прорыва
С помощью серии интенсивных математических аналогий, которые некоторые физики назвали «волшебными», Вернер Гейзенберг выписал уравнение, которое является квантово-механическим аналогом классического вычисления интенсивностей. Приведенное ниже уравнение появляется в его статье 1925 года.[11][12] Его общий вид выглядит следующим образом:
Этот общий формат указывает, что некоторый член C должен быть вычислен путем суммирования всех произведений некоторой группы терминов A на некоторую связанную группу терминов B. Потенциально будет бесконечная серия терминов A и соответствующих им терминов B. Каждое из этих умножений имеет в качестве факторов два измерения, которые относятся к последовательным нисходящим переходам между энергетическими состояниями электрона. Этот тип правила отличает матричную механику от вида физики, знакомой в повседневной жизни, потому что важными значениями являются то, где (в каком энергетическом состоянии или «орбитали») электрон начинается и в каком энергетическом состоянии он заканчивается, а не то, что электрон делает, пока в том или ином состоянии.
Формула выглядит довольно устрашающей, но если A и B оба ссылаются, например, на списки частот, все, что она говорит, это выполнить следующие умножения и затем суммировать их:
Умножьте частоту изменения энергии из состояния n в состояние n-a на частоту изменения энергии из состояния n-a в состояние n-b. и к этому добавить произведение, полученное путем умножения частоты изменения энергии из состояния n-a в состояние n-b на частоту для изменения энергии из состояния n-b в состояние n-c,
и так далее:
Символически это:
f (n, n-a) * f (n-a, n-b)) +
f (n-a, n-b) * f (n-b, n-c) +
и Т. Д.
(Согласно принятому соглашению, na представляет состояние с более высокой энергией, чем n, поэтому переход от n к na будет указывать на то, что электрон принял энергию входящего фотона и поднялся на более высокую орбиталь, в то время как переход от na к n будет представлять электрон, падающий на более низкую орбиталь и испускающий фотон.)
Было бы очень легко проделать каждый отдельный шаг этого процесса для некоторой измеренной величины. Например, формула в рамке в начале этого раздела дает последовательность каждой необходимой длины волны. Рассчитанные значения могут быть легко занесены в сетку, как описано ниже. Однако, поскольку ряд бесконечен, никто не может выполнить весь набор вычислений.
Гейзенберг изначально разработал это уравнение, чтобы позволить себе перемножить два измерения одного и того же типа (амплитуды), поэтому не имело значения, в каком порядке они были умножены. Однако Гейзенберг заметил, что если он попытался использовать ту же схему для умножения двух переменных, таких как импульс, п, и смещение, q, то «возникает значительная трудность».[13] Оказывается, умножение матрицы п матрицей q дает другой результат от умножения матрицы q матрицей п. Разница была лишь незначительной, но эта разница никогда не могла быть уменьшена ниже определенного предела, и этот предел связан с постоянной Планка, час. Подробнее об этом позже. Ниже приведен очень короткий пример того, как будут выглядеть расчеты, помещенные в сетки, которые называются матрицами. Учитель Гейзенберга почти сразу понял, что его работа должна быть выражена в матричном формате, потому что математики уже были знакомы с тем, как эффективно выполнять вычисления с использованием матриц. (Поскольку Гейзенберга интересовало фотонное излучение, иллюстрации будут даны в терминах электронов, переходящих с более высокого уровня энергии на более низкий уровень, например, n ← n-1, вместо перехода с более низкого уровня на более высокий уровень, например , п → п-1)
- (Уравнение для сопряженные переменные импульс и позиция)
Матрица п
| Электронные состояния | н-а | н-б | н-с | .... | |
|---|---|---|---|---|---|
| п | р (п︎ ← п-а) | р (п︎ ← п-б) | р (п︎ ← п-с) | ..... | |
| н-а | р (п-а︎ ← п-а) | р (п-а︎ ← п-б) | p (n-a︎ ← n-c) | ..... | |
| н-б | p (n-b︎ ← n-a) | p (n-b︎ ← n-b) | p (n-b︎ ← n-c) | ..... | |
| переход.... | ..... | ..... | ..... | ..... |
Матрица q
| Электронные состояния | н-б | н-с | н-д | .... | |
|---|---|---|---|---|---|
| н-а | д (п-а︎ ← п-б) | q (n-a︎ ← n-c) | q (n-a︎ ← n-d) | ..... | |
| н-б | q (n-b︎ ← n-b) | q (n-b︎ ← n-c) | q (n-b︎ ← n-d) | ..... | |
| н-с | д (п-с︎ ← п-б) | q (n-c︎ ← n-c) | д (п-с︎ ← п-г) | ..... | |
| переход.... | ..... | ..... | ..... | ..... |
Матрица для произведения двух вышеуказанных матриц, как определено соответствующим уравнением в статье Гейзенберга 1925 года, имеет следующий вид:
| Электронные состояния | н-б | н-с | н-д | ..... |
|---|---|---|---|---|
| п | А | ..... | ..... | ..... |
| н-а | ..... | B | ..... | ..... |
| н-б | ..... | ..... | C | ..... |
Где:
A = p (n︎ ← na) * q (n-a︎ ← nb) + p (n︎ ← nb) * q (n-b︎ ← nb) + p (n︎ ← nc) * q (n-c︎ ← nb) + .....
B = p (n-a︎ ← na) * q (n-a︎ ← nc) + p (n-a︎ ← nb) * q (n-b︎ ← nc) + p (n-a︎ ← nc) * q (n -c︎ ← nc) + .....
C = p (n-b︎ ← na) * q (n-a︎ ← nd) + p (n-b︎ ← nb) * q (n-b︎ ← nd) + p (n-b︎ ← nc) * q (n -d︎ ← nd) + .....
и так далее.
Если бы матрицы были перевернуты, в результате были бы следующие значения:
A = q (n︎ ← na) * p (n-a︎ ← nb) + q (n︎ ← nb) * p (n-b︎ ← nb) + q (n︎ ← nc) * p (n-c︎ ← nb) + .....
B = q (n-a︎ ← na) * p (n-a︎ ← nc) + q (n-a︎ ← nb) * p (n-b︎ ← nc) + q (n-a︎ ← nc) * p (n -c︎ ← nc) + .....
C = q (n-b︎ ← na) * p (n-a︎ ← nd) + q (n-b︎ ← nb) * p (n-b︎ ← nd) + q (n-b︎ ← nc) * p (n -d︎ ← nd) + .....
и так далее.
Обратите внимание, как изменение порядка умножения шаг за шагом меняет числа, которые фактически умножаются.
дальнейшее чтение
- Aitchison, Ian J. R .; MacManus, David A .; Снайдер, Томас М. (2004). «Понимание« волшебной »статьи Гейзенберга от июля 1925 года: новый взгляд на детали расчетов». Американский журнал физики. 72 (11): 1370–1379. arXiv:Quant-ph / 0404009. Bibcode:2004AmJPh..72.1370A. Дои:10.1119/1.1775243. S2CID 53118117. Прямая загрузка для Aitchison et al. по этому поводу.
Рекомендации
- ^ Б.Л. Ван дер Варден, Источники квантовой механики, п. 261
- ^ Б.Л. Ван дер Варден, Источники квантовой механики, п. 261
- ^ Б.Л. Ван дер Варден, Источники квантовой механики, п. 275f
- ^ Х. А. Крамерс, Природа 113 (1924) 673.
- ^ См. Статью 3 в B.L.Van der Waerden, Источники квантовой механики ».
- ^ Статья Гейзенберга 1925 г. переведена в книге Б. Л. Ван дер Вардена. Источники квантовой механики, где он появляется как глава 12.
- ^ Эйчисон и др., «Понимание« волшебной »статьи Гейзенберга от июля 1925 года: новый взгляд на детали расчетов», стр. 2
- ^ Томас Ф. Джордан, Квантовая механика в простой матричной форме, п. 149
- ^ Нобелевская лекция Борна цитируется в книге Томаса Ф. Джордана. Квантовая механика в простой матричной форме, п. 6
- ^ Видеть Введение в квантовую механику. Хенрик Смит, стр. 58 для удобочитаемого введения. См. Ian J. R. Aitchison, et al., «Понимание« волшебной »статьи Гейзенберга от июля 1925 г.», Приложение A, где приводится математический вывод этого соотношения.
- ^ Б.Л. Ван дер Варден, Источники квантовой механики, п. 266
- ^ В статье Эйчисона и др. Это уравнение (10) на странице 5.
- ^ Б.Л. Ван дер Варден, Источники квантовой механики, п. 266 и далее