Разложение Гельмгольца - Helmholtz decomposition

В физика и математика, в районе векторное исчисление, Теорема Гельмгольца,^[1][2] также известный как основная теорема векторного исчисления,^{[3][4][5][6][7][8][9]} заявляет, что любой достаточно гладкий, быстро разлагающийся векторное поле в трех измерениях можно разложить на сумму безвихревый (завиток -свободное) векторное поле и соленоидный (расхождение -свободно) векторное поле; это известно как Разложение Гельмгольца или же Представительство Гельмгольца. Он назван в честь Герман фон Гельмгольц.^[10]

Поскольку безвихревое векторное поле имеет скалярный потенциал и соленоидальное векторное поле имеет векторный потенциал, разложение Гельмгольца утверждает, что векторное поле (удовлетворяющее соответствующим условиям гладкости и убывания) может быть разложено в виде суммы вида ${\displaystyle -\nabla \phi +\nabla \times \mathbf {A} }$, куда ${\displaystyle \phi }$ - скалярное поле, называемое «скалярным потенциалом», и А - векторное поле, называемое векторным потенциалом.

Формулировка теоремы

Позволять ${\displaystyle \mathbf {F} }$ - векторное поле в ограниченной области ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$, дважды непрерывно дифференцируемую, и пусть ${\displaystyle S}$ - поверхность, ограничивающая область ${\displaystyle V}$. потом ${\displaystyle \mathbf {F} }$ можно разложить на компонент без завитков и компонент без дивергенции:^[11]

${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A} ,}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} S'\\[8pt]\mathbf {A} (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} S'\end{aligned}}}$

и ${\displaystyle \nabla '}$ - оператор набла относительно ${\displaystyle \mathbf {r'} }$, нет ${\displaystyle \mathbf {r} }$ .

Если ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}$ и поэтому неограничен, и ${\displaystyle \mathbf {F} }$ исчезает быстрее, чем ${\displaystyle 1/r}$ в качестве ${\displaystyle r\to \infty }$, то есть^[12]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'\\[8pt]\mathbf {A} (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'\end{aligned}}}$

Вывод

Предположим, у нас есть векторная функция ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$ из которых мы знаем локон, ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$, а расхождение ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$, в области и полей на границе. Написание функции с использованием дельта-функция в виде

${\displaystyle \delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')=-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ ,}$

куда ${\displaystyle \nabla ^{2}:=\nabla \cdot \nabla }$ - оператор Лапласа, имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=\int _{V}\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathrm {d} V'\\&=\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\left(-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\right)\mathrm {d} V'\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}\int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[\nabla \left(\nabla \cdot \int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\nabla \times \int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[\nabla \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)+\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[-\nabla \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\end{aligned}}}$

где мы использовали определение векторный лапласиан:

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {a} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {a} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {a} )\ ,}$

дифференциация / интеграция по ${\displaystyle \mathbf {r} '}$к ${\displaystyle \nabla '/\mathrm {d} V',}$ а в последней строке - линейность аргументов функции:

${\displaystyle \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}=-\nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\ .}$

Тогда с помощью векторных тождеств

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \nabla \psi &=-\psi (\nabla \cdot \mathbf {a} )+\nabla \cdot (\psi \mathbf {a} )\\\mathbf {a} \times \nabla \psi &=\psi (\nabla \times \mathbf {a} )-\nabla \times (\psi \mathbf {a} )\end{aligned}}}$

мы получили

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{4\pi }}{\bigg [}&-\nabla \left(-\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+\int _{V}\nabla '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\\&-\nabla \times \left(\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-\int _{V}\nabla '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right){\bigg ]}.\end{aligned}}}$

Благодаря теорема расходимости уравнение можно переписать как

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=-{\frac {1}{4\pi }}{\bigg [}-\nabla \left(-\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right)\\&\qquad \qquad -\nabla \times \left(\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right){\bigg ]}\\&=-\nabla \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\\&\quad +\nabla \times \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\end{aligned}}}$

с нормалью к внешней поверхности ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} '}$.

Определение

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )\equiv {\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )\equiv {\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'}$

окончательно получаем

${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A} .}$

${\displaystyle -{\frac {1}{4\pi \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}}$ это Функция Грина для лапласиана, а в более общих условиях ее следует заменить соответствующей функцией Грина - например, в двух измерениях ее следует заменить на ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\ln \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}$. Для более высокомерного обобщения см. Обсуждение Разложение Ходжа ниже.

Другой вывод из преобразования Фурье

Отметим, что в сформулированной здесь теореме мы наложили условие, что если ${\displaystyle \mathbf {F} }$ не определена в ограниченной области, то ${\displaystyle \mathbf {F} }$ распадется быстрее, чем ${\displaystyle 1/r}$. Таким образом, преобразование Фурье ${\displaystyle \mathbf {F} }$, обозначенный как ${\displaystyle \mathbf {G} }$, гарантированно существует. Мы применяем соглашение

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\iiint \mathbf {G} (\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}}$

Преобразование Фурье скалярного поля - это скалярное поле, а преобразование Фурье векторного поля - это векторное поле той же размерности.

Теперь рассмотрим следующие скалярные и векторные поля:

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\Phi }(\mathbf {k} )&=i{\frac {\mathbf {k} \cdot \mathbf {G} (\mathbf {k} )}{\|\mathbf {k} \|^{2}}}\\\mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )&=i{\frac {\mathbf {k} \times \mathbf {G} (\mathbf {k} )}{\|\mathbf {k} \|^{2}}}\\[8pt]\Phi (\mathbf {r} )&=\iiint G_{\Phi }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\\\mathbf {A} (\mathbf {r} )&=\iiint \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\end{aligned}}}$

Следовательно

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {G} (\mathbf {k} )&=-i\mathbf {k} G_{\Phi }(\mathbf {k} )+i\mathbf {k} \times \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )\\[6pt]\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=-\iiint i\mathbf {k} G_{\Phi }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}+\iiint i\mathbf {k} \times \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\\&=-\nabla \Phi (\mathbf {r} )+\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )\end{aligned}}}$

Поля с заданной расходимостью и завитком

Термин «теорема Гельмгольца» может также относиться к следующему. Позволять C быть соленоидальное векторное поле и d скалярное поле на р³ которые достаточно гладкие и исчезают быстрее, чем 1/р² на бесконечности. Тогда существует векторное поле F такой, что

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =d\quad {\text{ and }}\quad \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {C} ;}$

если дополнительно векторное поле F исчезает как р → ∞, тогда F уникален.^[12]

Другими словами, векторное поле может быть построено как с заданной дивергенцией, так и с заданным ротором, и если оно также обращается в нуль на бесконечности, оно однозначно определяется своей дивергенцией и ротором. Эта теорема имеет большое значение в электростатика, поскольку Уравнения Максвелла ведь электрическое и магнитное поля в статическом случае имеют именно такой тип.^[12] Доказательство проводится с помощью конструкции, обобщающей приведенную выше: положим

${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla ({\mathcal {G}}(d))+\nabla \times ({\mathcal {G}}(\mathbf {C} )),}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ представляет Ньютоновский потенциал оператор. (При воздействии на векторное поле, например ∇ × F, он определен для воздействия на каждый компонент.)

Дифференциальные формы

В Разложение Ходжа тесно связано с разложением Гельмгольца, обобщая векторные поля на р³ к дифференциальные формы на Риманово многообразие M. Большинство формулировок разложения Ходжа требуют M быть компактный.^[13] Поскольку это не так р³, теорема о разложении Ходжа не является строго обобщением теоремы Гельмгольца. Однако ограничение компактности в обычной формулировке разложения Ходжа можно заменить подходящими предположениями о распаде на бесконечности задействованных дифференциальных форм, что дает надлежащее обобщение теоремы Гельмгольца.

Слабая формулировка

Разложение Гельмгольца также можно обобщить, уменьшив предположения регулярности (необходимость существования сильных производных). Предполагать Ω является ограниченным, односвязным, Липшицевский домен. Каждый интегрируемый с квадратом векторное поле ты ∈ (L²(Ом))³ имеет ортогональный разложение:

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \varphi +\nabla \times \mathbf {A} }$

куда φ находится в Соболевское пространство ЧАС¹(Ом) квадратично интегрируемых функций на Ω частные производные которого определены в распределение смысл квадратично интегрируемы, и А ∈ ЧАС(локон, Ω), пространство векторных полей Соболева, состоящее из квадратных интегрируемых векторных полей с квадратично интегрируемым ротором.

Для чуть более гладкого векторного поля ты ∈ ЧАС(локон, Ω), имеет место аналогичное разложение:

${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \varphi +\mathbf {v} }$

куда φ ∈ ЧАС¹(Ω), v ∈ (ЧАС¹(Ом))^d.

Продольные и поперечные поля

Терминология, часто используемая в физике, относится к компоненту векторного поля без завитков как к продольный компонент а бездивергентная составляющая - как поперечный компонент.^[14] Эта терминология происходит от следующей конструкции: Вычислить трехмерное преобразование Фурье ${\displaystyle {\hat {\mathbf {F} }}}$ векторного поля ${\displaystyle \mathbf {F} }$. Затем разложите это поле в каждой точке k, на две составляющие, одна из которых направлена ​​продольно, т. е. параллельно k, другой из которых направлен в поперечном направлении, т.е. перпендикулярно k. Пока у нас есть

${\displaystyle {\hat {\mathbf {F} }}(\mathbf {k} )={\hat {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )+{\hat {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )}$

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot {\hat {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )=0.}$

${\displaystyle \mathbf {k} \times {\hat {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )=\mathbf {0} .}$

Теперь применим обратное преобразование Фурье к каждой из этих компонент. Используя свойства преобразований Фурье, получаем:

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} )+\mathbf {F} _{l}(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} )=0}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} _{l}(\mathbf {r} )=\mathbf {0} }$

С ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \Phi )=0}$ и ${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$,

мы можем получить

${\displaystyle \mathbf {F} _{t}=\nabla \times \mathbf {A} ={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{l}=-\nabla \Phi =-{\frac {1}{4\pi }}\nabla \int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'}$

так что это действительно разложение Гельмгольца.^[15]

Смотрите также

• Представительство Клебша для связанного разложения векторных полей
• Лагранжиан Дарвина для приложения
• Полоидально-тороидальное разложение для дальнейшего разложения бездивергентной компоненты ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} }$.
• Скалярно-векторно-тензорное разложение

Примечания

1. О теореме Гельмгольца в конечных областях. К Жан Блейдель. Ассоциация исследований университетов Среднего Запада, 1958.
2. Герман фон Гельмгольц. Clarendon Press, 1906. Автор Лео Кенигсбергер. p357
3. Элементарный курс интегрального исчисления. К Дэниел Александр Мюррей. Американская книжная компания, 1898. С. 8.
4. Дж. У. Гиббс & Эдвин Бидвелл Уилсон (1901) Векторный анализ, страница 237, ссылка с Интернет-архив
5. Электромагнитная теория, Том 1. Автор Оливер Хевисайд. Типография и издательство "Электрик", с ограниченной ответственностью, 1893 г.
6. Элементы дифференциального исчисления. К Уэсли Стокер Баркер Вулхаус. Уил, 1854 г.
7. Элементарный трактат по интегральному исчислению: основан на методе скоростей или колебаний. К Уильям Вулси Джонсон. Джон Уайли и сыновья, 1881 год.
   Смотрите также: Метод флюсий.
8. Векторное исчисление: с приложениями к физике. К Джеймс Бирни Шоу. Д. Ван Ностранд, 1922. С. 205.
   Смотрите также: Теорема Грина.
9. Трактат по интегральному исчислению, том 2. Автор Джозеф Эдвардс. Chelsea Publishing Company, 1922 год.
10. Видеть:
    • Х. Гельмгольц (1858) "Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welcher der Wirbelbewegungen entsprechen" (Об интегралах уравнений гидродинамики, соответствующих вихревым движениям), Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 55: 25–55. На странице 38 компоненты скорости жидкости (ты, v, ш) выражаются через градиент скалярного потенциала P и ротор векторного потенциала (L, M, N).
    • Тем не менее, Гельмгольца в значительной степени ожидал Джордж Стоукс в своей статье: Г. Г. Стоукс (представлен: 1849; опубликован: 1856) «По динамической теории дифракции». Труды Кембриджского философского общества, т. 9, часть I, страницы 1–62; см. страницы 9–10.
11. "Теорема Гельмгольца" (PDF). Вермонтский университет. Архивировано из оригинал (PDF) на 2012-08-13. Получено 2011-03-11.
12. Дэвид Дж. Гриффитс, Введение в электродинамику, Прентис-Холл, 1999, стр. 556.
13. Кантарелла, Джейсон; ДеТерк, Деннис; Глюк, Герман (2002). «Векторное исчисление и топология областей в трехмерном пространстве». Американский математический ежемесячник. 109 (5): 409–442. Дои:10.2307/2695643. JSTOR  2695643.
14. Стюарт, А. М .; Продольные и поперечные компоненты векторного поля, Sri Lankan Journal of Physics 12, 33–42 (2011).
15. Онлайн-записи лекций Роберта Литтлджона

Рекомендации

Общие ссылки

• Джордж Б. Арфкен и Ханс Дж. Вебер, Математические методы для физиков, 4-е издание, Academic Press: San Diego (1995), стр. 92–93
• Джордж Б. Арфкен и Ханс Дж. Вебер, Математические методы для физиков - международное издание, 6-е издание, Academic Press: San Diego (2005), стр. 95–101
• Резерфорд Арис, Векторы, тензоры и основные уравнения механики жидкости, Прентис-Холл (1962), OCLC  299650765, стр. 70–72

Ссылки на слабую формулировку

• Amrouche, C .; Бернарди, К.; Дауге, М .; Жиро, В. (1998). «Векторные потенциалы в трехмерных негладких областях». Математические методы в прикладных науках. 21: 823–864. Bibcode:1998MMAS ... 21..823A. Дои:10.1002 / (sici) 1099-1476 (199806) 21: 9 <823 :: aid-mma976> 3.0.co; 2-b.
• Р. Даутрей и Ж.-Л. Львы. Спектральная теория и приложения, том 3 математического анализа и численных методов в науке и технике. Springer-Verlag, 1990.
• В. Жиро и П.А. Равиар. Методы конечных элементов для уравнений Навье – Стокса: теория и алгоритмы. Ряды Спрингера в вычислительной математике. Спрингер-Верлаг, 1986.

внешняя ссылка

• Теорема Гельмгольца на MathWorld