Представительство Клебша - Clebsch representation

В физика и математика, то Представительство Клебша произвольного трехмерный векторное поле ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {x}})}$ является:^[1][2]

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {\nabla }}\varphi +\psi \,{\boldsymbol {\nabla }}\chi ,}$

где скалярные поля ${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}})}$${\displaystyle ,\psi ({\boldsymbol {x}})}$ и ${\displaystyle \chi ({\boldsymbol {x}})}$ известны как Потенциалы Клебша^[3] или же Потенциалы Монжа,^[4] названный в честь Альфред Клебш (1833–1872) и Гаспар Монж (1746–1818), и ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$ это градиент оператор.

Фон

В динамика жидкостей и физика плазмы, представление Клебша позволяет преодолеть трудности, связанные с описанием невязкий поток с ненулевым завихренность - в Эйлерова система отсчета - с помощью Лагранжева механика и Гамильтонова механика.^[5][6][7] На критическая точка таких функционалы результат Уравнения Эйлера, система уравнений, описывающих течение жидкости. Отметим, что указанные трудности не возникают при описании течения через вариационный принцип в Лагранжева система отсчета. В случае поверхностные гравитационные волны, представление Клебша приводит к вращательно-поточной форме Вариационный принцип Люка.^[8]

Чтобы представление Клебша было возможным, векторное поле ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ должен (локально) быть ограниченный, непрерывный и достаточно гладкий. Для глобального применения ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ должен распадаться достаточно быстро к бесконечность.^[9] Разложение Клебша не единственное, и (два) дополнительных ограничения необходимы для однозначного определения потенциалов Клебша.^[1] С ${\displaystyle \psi {\boldsymbol {\nabla }}\chi }$ в общем нет соленоидный, представление Клебша, вообще говоря, не удовлетворяет Разложение Гельмгольца.^[10]

Завихренность

Завихренность ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {x}})}$ равно^[2]

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {\nabla }}\times \left({\boldsymbol {\nabla }}\varphi +\psi \,{\boldsymbol {\nabla }}\chi \right)={\boldsymbol {\nabla }}\psi \times {\boldsymbol {\nabla }}\chi ,}$

с последней ступенькой из-за тождество с векторным исчислением ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times (\psi {\boldsymbol {A}})=\psi ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {A}})+{\boldsymbol {\nabla }}\psi \times {\boldsymbol {A}}.}$ Итак, завихренность ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ перпендикулярно обоим ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\psi }$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\chi ,}$ а в дальнейшем завихренность не зависит от ${\displaystyle \varphi .}$

Примечания

1. Баранина (1993, стр. 248–249).
2. Серрин (1959 г., стр. 169–171).
3. Бенджамин (1984)
4. Арис (1962 г., стр. 70–72).
5. Клебш (1859)
6. Бейтман (1929)
7. Селигер и Уизэм (1968)
8. Люк (1967)
9. Весселинг (2001), п. 7)
10. Ву, Ма и Чжоу (2007), п. 43)

Рекомендации

• Арис, Р. (1962), Векторы, тензоры и основные уравнения механики жидкости, Прентис-Холл, OCLC  299650765
• Бейтман, Х. (1929), «Заметки о дифференциальном уравнении, которое возникает в двумерном движении сжимаемой жидкости и связанных с ним вариационных задачах», Труды Лондонского королевского общества A, 125 (799): 598–618, Bibcode:1929RSPSA.125..598B, Дои:10.1098 / rspa.1929.0189
• Бенджамин, Т. Брук (1984), «Импульс, сила потока и вариационные принципы», Журнал прикладной математики IMA, 32 (1–3): 3–68, Bibcode:1984ЯпМа..32 .... 3Б, Дои:10.1093 / imamat / 32.1-3.3
• Клебш, А. (1859), "Ueber die Integration der hydrodynamischen Gleichungen", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 1859 (56): 1–10, Дои:10.1515 / crll.1859.56.1, S2CID  122730522
• Лэмб, Х. (1993), Гидродинамика (6-е изд.), Дувр, ISBN  978-0-486-60256-1
• Люк, Дж. К. (1967), "Вариационный принцип для жидкости со свободной поверхностью", Журнал гидромеханики, 27 (2): 395–397, Bibcode:1967JFM .... 27..395L, Дои:10.1017 / S0022112067000412
• Моррисон, П.Дж. (2006). «Гамильтонова гидродинамика» (PDF). Гамильтонова механика жидкости. Энциклопедия математической физики. 2. Эльзевир. С. 593–600. Дои:10.1016 / B0-12-512666-2 / 00246-7. ISBN  9780125126663.
• Рунд, Х. (1976), "Обобщенные представления Клебша на многообразиях", Темы по дифференциальной геометрии, Academic Press, стр. 111–133, ISBN  978-0-12-602850-8
• Салмон, Р. (1988), «Гамильтонова механика жидкости», Ежегодный обзор гидромеханики, 20: 225–256, Bibcode:1988АнРФМ..20..225С, Дои:10.1146 / annurev.fl.20.010188.001301
• Селигер, Р.Л .; Whitham, G.B. (1968), "Вариационные принципы в механике сплошных сред", Труды Лондонского королевского общества A, 305 (1440): 1–25, Bibcode:1968RSPSA.305 .... 1С, Дои:10.1098 / rspa.1968.0103, S2CID  119565234
• Серрин, Дж. (1959), Флюгге, С.; Трусделл, К. (ред.), "Энциклопедия физики", Handbuch der Physik, Энциклопедия физики / Handbuch der Physik, VIII / 1: 125–263, Bibcode:1959HDP ..... 8..125S, Дои:10.1007/978-3-642-45914-6_2, ISBN  978-3-642-45916-0, МИСТЕР  0108116, Zbl  0102.40503 | вклад = игнорируется (помощь)
• Весселинг, П. (2001), Принципы вычислительной гидродинамики, Спрингер, ISBN  978-3-540-67853-3
• Wu, J.-Z .; Ma, H.-Y .; Чжоу, М.-Д. (2007), Завихренность и вихревая динамика, Спрингер, ISBN  978-3-540-29027-8