Теорема Эрбрана – Рибета. - Herbrand–Ribet theorem

В математика, то Теорема Эрбрана – Рибета. это результат на классная группа определенных числовые поля. Это усиление Эрнст Куммер Теорема о том, что простое число п разделяет номер класса из круговое поле из п-го корни единства если и только если п делит числитель п-го Число Бернулли B_п для некоторых п, 0 < п < п - 1. Теорема Хербрана – Рибета уточняет, что, в частности, означает, когда п разделяет такой B_п.

Заявление

В Группа Галуа Δ круговое поле из пкорни из единицы для нечетного простого числа п, Q(ζ) с ζ^п = 1, состоит из п - 1 элементы группы σ_а, куда ${\displaystyle \sigma _{a}(\zeta )=\zeta ^{a}}$. Как следствие Маленькая теорема Ферма, в кольце п-адические целые числа ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ у нас есть п - 1 корень из единицы, каждый из которых соответствует моде п к некоторому числу в диапазоне от 1 до п - 1; поэтому мы можем определить Dirichlet персонаж ω (характер Тейхмюллера) со значениями в ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ требуя этого для п относительно простой п, ω (п) быть конгруэнтным п по модулю п. В п часть классной группы является ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-модуль (так как это п-первичный), следовательно, модуль над групповое кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}[\Delta ]}$. Теперь определим идемпотентные элементы группового кольца для каждого п от 1 до п - 1, поскольку

${\displaystyle \epsilon _{n}={\frac {1}{p-1}}\sum _{a=1}^{p-1}\omega (a)^{n}\sigma _{a}^{-1}.}$

Легко заметить, что ${\displaystyle \sum \epsilon _{n}=1}$ и ${\displaystyle \epsilon _{i}\epsilon _{j}=\delta _{ij}\epsilon _{i}}$ куда ${\displaystyle \delta _{ij}}$ это Дельта Кронекера. Это позволяет нам разбить п часть идеальной классовой группы грамм из Q(ζ) с помощью идемпотентов; если грамм - идеальная группа классов, то, полагая грамм_п = ε_п(грамм), у нас есть ${\displaystyle G=\oplus G_{n}}$.

Теорема Хербрана – Рибета утверждает, что для нечетных п, грамм_п нетривиально тогда и только тогда, когда п делит число Бернулли B_п−п.^[1]

В теореме не говорится о четных значениях п, но неизвестно п для которого грамм_п нетривиален для любого четного п: мелочь для всех п будет следствием Гипотеза Вандивера.^[2]

Доказательства

Часть, говорящая п разделяет B_п−п если грамм_п нетривиально из-за Жак Эрбранд.^[3] Наоборот, если п разделяет B_п−п тогда грамм_п нетривиально из-за Кеннет Рибет, и значительно сложнее. К теория поля классов, это может быть правдой, только если существует неразветвленное расширение поля пкорней из единицы циклическим расширением степени п которое ведет себя указанным образом под действием Σ; Рибет доказывает это, фактически построив такое расширение, используя методы теории модульные формы. Более элементарное доказательство обращения Рибета к теореме Эрбрана, следствие теории Системы Эйлера, можно найти в книге Вашингтона.^[4]

Обобщения

Методы Рибета были продвинуты Барри Мазур и Эндрю Уайлс чтобы доказать основная гипотеза теории Ивасавы,^[5] следствие из которого является усилением теоремы Эрбрана – Рибета: мощность п разделение B_п−п это именно сила п разделение порядка грамм_п.

Смотрите также

• Теория Ивасавы

Примечания

1. Рибет, Кен (1976). "Модульная конструкция неразветвленных p-расширений ${\displaystyle \mathbb {Q} }$(μ_п)". Инв. Математика. 34 (3): 151–162. Дои:10.1007 / bf01403065.
2. Коутс, Джон; Суджата, Р. (2006). Циклотомические поля и дзета-значения. Монографии Спрингера по математике. Springer-Verlag. С. 3–4. ISBN  3-540-33068-2. Zbl  1100.11002.
3. Хербранд, Дж. (1932). "Sur les classes des corps loops". J. Math. Pures Appl., IX. Сэр. (На французском). 11: 417–441. ISSN  0021-7824. Zbl  0006.00802.
4. Вашингтон, Лоуренс К. (1997). Введение в циклотомические поля (Второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-94762-0.
5. Мазур, Барри и Уайлс, Эндрю (1984). "Поля классов абелевого расширения ${\displaystyle \mathbb {Q} }$". Инв. Математика. 76 (2): 179–330. Дои:10.1007 / bf01388599.