Эрмитский сорт - Hermitian variety

Эрмитские сорта являются в некотором смысле обобщением квадрики, и встречаются в природе в теория полярностей.

Определение

Позволять K быть поле с инволютивным автоморфизм ${\displaystyle \theta }$. Позволять п быть целым числом ${\displaystyle \geq 1}$ и V быть (п + 1)-размерный векторное пространство надK.

Эрмитский сорт ЧАС в PG (V) - это множество точек, представляющие векторные прямые, состоящие из изотропных точек нетривиального эрмитова полуторалинейная форма наV.

Представление

Позволять ${\displaystyle e_{0},e_{1},\ldots ,e_{n}}$ быть основой V. Если точка п в проективное пространство имеет однородные координаты ${\displaystyle (X_{0},\ldots ,X_{n})}$ относительно этого базиса он принадлежит к эрмитовскому многообразию тогда и только тогда, когда:

${\displaystyle \sum _{i,j=0}^{n}a_{ij}X_{i}X_{j}^{\theta }=0}$

где ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}^{\theta }}$ и не все ${\displaystyle a_{ij}=0}$

Если построить Эрмитова матрица А с участием ${\displaystyle A_{ij}=a_{ij}}$, уравнение можно записать компактно:

${\displaystyle X^{t}AX^{\theta }=0}$

где ${\displaystyle X={\begin{bmatrix}X_{0}\\X_{1}\\\vdots \\X_{n}\end{bmatrix}}.}$

Касательные пространства и особенность

Позволять п быть точкой на эрмитовом многообразии ЧАС. Линия L через п по определению касательная когда он содержит только одну точку (п сам) разновидности или полностью лежит на разновидности. Можно доказать, что эти прямые образуют подпространство, либо гиперплоскость всего пространства. В последнем случае точка особая.