Двадцать вторая задача Гильберта - Hilberts twenty-second problem - Wikipedia

Двадцать вторая проблема Гильберта предпоследняя запись в знаменитом списке 23 Проблемы Гильберта составлен в 1900 г. Дэвид Гильберт. Это влечет за собой унификацию аналитических отношений с помощью автоморфные функции.

Постановка задачи

Полнота исходной постановки задачи такова:

Как Пуанкаре был первым, кто доказал, что всегда можно свести любое алгебраическое отношение между двумя переменными к единообразию, используя автоморфные функции одной переменной. То есть, если задано какое-либо алгебраическое уравнение с двумя переменными, для этих переменных всегда можно найти две такие однозначные автоморфные функции от одной переменной, что их подстановка делает данное алгебраическое уравнение тождественным. Обобщение этой фундаментальной теоремы на любые аналитические неалгебраические отношения между двумя переменными аналогично было предпринято Пуанкаре с успехом, хотя и другим способом, чем тот, который помог ему в первой упомянутой специальной проблеме. Однако из доказательства Пуанкаре возможности сведения произвольного аналитического отношения между двумя переменными к единообразию не становится очевидным, можно ли определить разрешающие функции, удовлетворяющие определенным дополнительным условиям. А именно, не показано, могут ли две однозначные функции одной новой переменной быть выбраны таким образом, чтобы, пока эта переменная проходит через регулярную область этих функций, совокупность всех регулярных точек данного аналитического поля фактически достигается и представлена . Напротив, из исследований Пуанкаре кажется, что существуют помимо точек ветвления некоторые другие, в общем бесконечно много других дискретных исключительных точек аналитического поля, которые могут быть достигнуты только путем приближения новой переменной к определенным ограничениям. точки функций. Ввиду фундаментальной важности постановки вопроса Пуанкаре мне кажется, что прояснение и разрешение этой трудности крайне желательно.

В связи с этой проблемой возникает проблема сведения к единообразию алгебраических или любых других аналитических отношений между тремя или более сложными переменными - проблема, которая, как известно, разрешима во многих частных случаях. Для решения этой проблемы недавние исследования Пикара по алгебраическим функциям двух переменных следует рассматривать как долгожданные и важные предварительные исследования.[1]

Частичные решения

Основная статья: Теорема униформизации

Кёбе доказал общая теорема униформизации что если риманова поверхность гомеоморфна открытому подмножеству комплексной сферы (или, что то же самое, если каждая жорданова кривая разделяет ее), то она конформно эквивалентна открытому подмножеству комплексной сферы.

Текущее состояние

Эта проблема в настоящее время открыта.[2][сомнительный – обсуждать] Некоторого прогресса добились Гриффит и Берс.

Рекомендации

  1. ^ Гильберт, Дэвид, "Mathematische Probleme" Göttinger Nachrichten, (1900), стр. 253-297, и в Archiv der Mathematik und Physik, (3) 1 (1901), 44-63 и 213-237. Опубликовано в английском переводе доктора Маби Винтон Ньюсон, Бюллетень Американского математического общества 8 (1902), 437-479 [1] [2] Дои:10.1090 / S0002-9904-1902-00923-3 . [Более полное название журнала Göttinger Nachrichten - Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wiss. zu Göttingen.]
  2. ^ Адачи, Юкинобу. «О многомерной теореме Римана об отображении и ее приложениях». Journal of Mathematics Research 6.3 (2014): стр. 13.
  • Берс, Липман (1976). «О двадцать второй проблеме Гильберта». В Феликс Э. Браудер (ред.). Математические разработки, возникающие из проблем Гильберта. Труды симпозиумов по чистой математике. XXVIII.2. Американское математическое общество. С. 559–609. ISBN  0-8218-1428-1.