Гильбертовый спектр - Hilbert spectrum

Гильбертовый спектр частотно-модулированного сигнала в форме, заданной ${displaystyle x(t)=(c_{1}-c_{2}t)cdot cos {ig (}omega t+epsilon sin(2omega t){ig )}}$.

В Гильбертовый спектр (иногда называемый Спектр амплитуды Гильберта), названный в честь Дэвид Гильберт, представляет собой статистический инструмент, который помогает различать смесь движущихся сигналов. Сам спектр разлагается на составляющие его источники с использованием независимый компонентный анализ. Разделение комбинированного воздействия неопознанных источников (слепое разделение сигналов ) имеет приложения в климатология, сейсмология, и биомедицинская визуализация.

Концептуальное резюме

Спектр Гильберта вычисляется с помощью двухэтапного процесса, состоящего из:

• Предварительная обработка сигнала разделяет его на функции внутреннего режима, используя математическое разложение, такое как разложение по сингулярным числам (СВД);
• Применение преобразования Гильберта к результатам вышеуказанного шага для получения мгновенного частотного спектра каждого из компонентов.

В Преобразование Гильберта определяет мнимую часть функция чтобы сделать его аналитической функцией (иногда называемой прогрессивная функция ), т.е. функция, чья сила сигнала равен нулю для всех частотных составляющих меньше нуля.

С преобразованием Гильберта сингулярные векторы дают мгновенные частоты, которые являются функциями времени, так что результатом является энергия распространение по время и частота.

Результатом является способность фиксировать частотно-временную локализацию, чтобы сделать концепцию мгновенной частоты и времени актуальной (концепция мгновенной частоты в противном случае абстрактна или ее трудно определить для всех сигналов, кроме монокомпонентных).

Определение

По заданному сигналу ${displaystyle x(t)}$ разложены (например, с Разложение по эмпирическим модам ) к

${displaystyle x(t)=r(t)+sum _{j=1}^{k}c_{j}(t)}$

где ${displaystyle k}$ это количество функции внутреннего режима это ${displaystyle x(t)}$ состоят из и

${displaystyle c_{j}(t)=mathbb {R} {ig {}a_{j}(t)e^{-i heta _{j}(t)}{ig }}=a_{j}(t)cos {ig (} heta _{j}(t){ig )}}$

В мгновенная угловая частота тогда определяется как

${displaystyle omega _{j}(t)={frac {d heta _{j}(t)}{dt}}}$

Отсюда мы можем определить гильбертовый спектр^[1] для ${displaystyle c_{j}(t)}$ так как

${displaystyle H_{j}(omega ,t)={egin{cases}a_{j}(t),&omega =omega _{j}(t)�,&{ ext{otherwise}}end{cases}}}$

Гильбертовый спектр ${displaystyle x(t)}$ тогда дается

${displaystyle H(omega ,t)=sum _{j=1}^{k}H_{j}(omega ,t)}$

Маргинальный гильбертовый спектр

Двумерное представление гильбертова спектра, называемое маргинальным гильбертовым спектром, определяется как

${displaystyle h(omega )={frac {1}{T}}int _{0}^{T}H(omega ,t)dt}$

где ${displaystyle T}$ это длина дискретизированного сигнала ${displaystyle x(t)}$. Маргинальный гильбертовый спектр показывает полную энергию, которую вносит каждое значение частоты.^[1]

Приложения

Спектр Гильберта имеет множество практических приложений. Один пример приложения, впервые предложенный профессором Ричард Кобболд, - использование спектра Гильберта для анализа кровоток по импульсному допплеру УЗИ. Другие приложения спектра Гильберта включают анализ климатические особенности, волны на воде, и тому подобное.

Смотрите также

• Преобразование Гильберта – Хуанга

использованная литература

1. Норден Э Хуанг, Самуэль С. П. Шен, Преобразование Гильберта-Хуанга и его приложения, 2-е издание

• Хуанг и др. "Разложение по эмпирическим модам и спектр Гильберта для нелинейного и нестационарного анализа временных рядов " Proc. R. Soc. Лондон. (А) 1998
• Huang, N.E .; и другие. (2016). «О гологильбертовом спектральном анализе: полное информационное спектральное представление для нелинейных и нестационарных данных». Фил. Пер. R. Soc. Лондон. А. 374: 20150206. Bibcode:2016RSPTA.37450206H. Дои:10.1098 / rsta.2015.0206. ЧВК  4792412. PMID  26953180.