Единственность для линейных дифференциальных уравнений в частных производных с вещественными аналитическими коэффициентами
В теории уравнения в частных производных, Теорема единственности Холмгрена, или просто Теорема Холмгрена, названный в честь шведского математика Эрик Альберт Холмгрен (1873–1943), является результатом единственности для линейных уравнения в частных производных с настоящий аналитик коэффициенты.[1]
Простая форма теоремы Хольмгрена
Мы будем использовать многоиндексная запись:Позволять
,с
обозначающие неотрицательные целые числа; обозначим
и
.
Теорема Холмгрена в более простой форме может быть сформулирована следующим образом:
- Предположить, что п = ∑|α| ≤м Аα(х) ∂α
Икс является эллиптический оператор в частных производных с аналитический коэффициенты. Если Пу является вещественно-аналитическим в связной открытой окрестности Ω ⊂ рп, тогда ты также является вещественно-аналитическим.
Это утверждение, в котором «аналитический» заменен на «гладкий», является Герман Вейль классическая лемма о эллиптическая регулярность:[2]
- Если п является эллиптическим дифференциальным оператором и Пу гладко в Ω, тогда ты также гладкий в Ω.
Это утверждение можно доказать, используя Соболевские пространства.
Классическая форма
Позволять
быть связной открытой окрестностью в
, и разреши
аналитическая гиперповерхность в
, таких, что есть два открытых подмножества
и
в
, непустые и связанные, не пересекающиеся
ни друг друга, так что
.
Позволять
- дифференциальный оператор с вещественно-аналитическими коэффициентами.
Предположим, что гиперповерхность
нехарактерна по отношению к
в каждой точке:
.
Над,

то главный символ из
.
это конормальный пучок к
, определяется как
.
Классическая формулировка теоремы Хольмгрена выглядит следующим образом:
- Теорема Холмгрена
- Позволять
быть распределением в
такой, что
в
. Если
исчезает в
, то он исчезает в открытой окрестности
.[3]
Связь с теоремой Коши – Ковалевского
Рассмотрим проблему

с данными Коши

Предположить, что
является вещественно-аналитическим по всем своим аргументам в окрестности
и это
вещественно-аналитичны в окрестности
.
- Теорема (Коши – Ковалевски)
- Есть уникальное реально-аналитическое решение
в районе
.
Заметим, что теорема Коши – Ковалевского не исключает существования решений, которые не являются вещественно-аналитическими.
С другой стороны, в случае, когда
является полиномом первого порядка от
, так что

Теорема Холмгрена утверждает, что решение
вещественно аналитична и, следовательно, по теореме Коши – Ковалевски единственна.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Эрик Хольмгрен, "Убер-система линейных партиелленов Differentialgleichungen", Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Academien Förhandlinger, 58 (1901), 91–103.
- ^ Строок, В. (2008). «Лемма Вейля, одна из многих». Группы и анализ. Лондонская математика. Soc. Лекция Сер. 354. Кембридж: Cambridge Univ. Нажмите. С. 164–173. МИСТЕР 2528466.
- ^ Франсуа Тревес, "Введение в псевдодифференциальные и интегральные операторы Фурье", т. 1, Plenum Press, Нью-Йорк, 1980.