Преобразование Гольштейна – Примакова - Holstein–Primakoff transformation

В Гольштейн-Примаков трансформация в квантовая механика это отображение к вращение операторы из бозон операторы создания и уничтожения, эффективно усекая их бесконечномерные Пространство фока к конечномерным подпространствам.

Одним из важных аспектов квантовой механики является возникновение - в общем -не ездящий на работу операторы которые представляют наблюдаемые, величины, которые можно измерить. Стандартный пример набора таких операторов - три компонента угловой момент операторы, которые имеют решающее значение во многих квантовых системах. Эти операторы сложны, и хотелось бы найти более простое представление, которое можно было бы использовать для создания приближенных вычислительных схем.

Преобразование было разработано^[1] в 1940 г. Теодор Гольштейн, в то время аспирант,^[2] и Генри Примакофф. Этот метод нашел широкое применение и получил распространение во многих различных направлениях.

Имеется тесная связь с другими методами бозонного отображения операторных алгебр: в частности, с (неэрмитовым) Дайсон -Малеев^[3][4] техника, и в меньшей степени Карта Иордании – Швингера.^[5] Кроме того, существует тесная связь с теорией (обобщенной) когерентные состояния в Алгебры Ли.

Базовая техника

Основная идея может быть проиллюстрирована на базовом примере спиновых операторов квантовой механики.

Для любого набора правосторонних ортогональных осей определите компоненты этого векторного оператора как${displaystyle S_{x}}$, ${displaystyle S_{y}}$ и ${displaystyle S_{z}}$, которые взаимно некоммерческий, т.е. ${displaystyle left[S_{x},S_{y}ight]=ihbar S_{z}}$ и его циклические перестановки.

Чтобы однозначно указать состояния спина, можно диагонализовать любой набор коммутирующих операторов. Обычно используется SU (2) Операторы Казимира ${displaystyle S^{2}}$ и ${displaystyle S_{z}}$, что приводит к состояниям с квантовые числа ${displaystyle left|s,m_{s}ightangle }$,

${displaystyle S^{2}left|s,m_{s}ightangle =hbar ^{2}s(s+1)left|s,m_{s}ightangle ,}$

${displaystyle S_{z}left|s,m_{s}ightangle =hbar m_{s}left|s,m_{s}ightangle .}$

Проекционное квантовое число ${displaystyle m_{s}}$ принимает все ценности ${displaystyle -s,-s+1,ldots ,s-1,s}$.

Рассмотрим одну частицу спина s (т. е. посмотрите на один неприводимое представление из SU (2)). Теперь возьмем состояние с максимальной проекцией ${displaystyle left|s,m_{s}=+sightangle }$, то состояние с экстремальным весом как вакуум для набора бозонных операторов, а каждое последующее состояние с меньшим проекционным квантовым числом как бозонное возбуждение предыдущего,

${displaystyle left|s,s-nightangle mapsto {frac {1}{sqrt {n!}}}left(a^{dagger }ight)^{n}|0angle _{B}~.}$

Тогда каждый дополнительный бозон соответствует убыванию час в проекции вращения. Таким образом, повышающие и понижающие операторы спина ${displaystyle S_{+}=S_{x}+iS_{y}}$ и ${displaystyle S_{-}=S_{x}-iS_{y}}$, так что ${displaystyle [S_{+},S_{-}]=2hbar S_{z}}$, соответствуют (в подробно описанном ниже смысле) операторам бозонной аннигиляции и рождения соответственно. должны быть выбраны точные соотношения между операторами, чтобы гарантировать правильные коммутационные соотношения для спиновых операторов, так что они действуют в конечномерном пространстве, в отличие от оригинального фока космоса.

Полученное преобразование Холстейна – Примакова можно записать как

${displaystyle S_{+}=hbar {sqrt {2s}}{sqrt {1-{frac {a^{dagger }a}{2s}}}},a~,qquad S_{-}=hbar {sqrt {2s}}a^{dagger },{sqrt {1-{frac {a^{dagger }a}{2s}}}}~,qquad S_{z}=hbar (s-a^{dagger }a)~.}$

Преобразование особенно полезно в случае, когда s большой, когда квадратные корни можно разложить как Серия Тейлор, чтобы дать разложение по убывающим степеням s.

Негермитский Дайсон-Малеев вариант реализации J связано с вышеизложенным,

${displaystyle J_{+}=hbar ,a~,qquad J_{-}=S_{-}~{sqrt {2s-a^{dagger }a}}=hbar a^{dagger },(2s-a^{dagger }a)~,qquad J_{z}=S_{z}=hbar (s-a^{dagger }a)~,}$

удовлетворяющие одним и тем же коммутационным соотношениям и характеризующиеся одним и тем же инвариантом Казимира.

Техника может быть расширена на Алгебра Витта,^[6] который является бесцентровым Алгебра Вирасоро.

Рекомендации

1. Т. Гольштейн и Х. Примаков, Phys. Ред. 58, 1098 - 1113 (1940) Дои:10.1103 / PhysRev.58.1098
2. "Теодор Д. Холштейн, Физика: Лос-Анджелес". Калифорнийский университет. Получено 23 декабря 2015.
3. А. Клейн, Э. Р. Маршалек, Бозонные реализации алгебр Ли с приложениями к ядерной физике, с. http://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.63.375 Дои:10.1103 / RevModPhys.63.375
4. "Классическое цитирование на этой неделе Ф. Дж. Дайсона, 4 августа 1986 г." (PDF). Текущее содержание (36): 16. 8 сентября 1986 г.
5. Швингер, Дж. (1952). "На угловом моменте", Неопубликованный отчет, Гарвардский университет, Nuclear Development Associates, Inc., Министерство энергетики США (через агентство-предшественник Комиссия по атомной энергии ), Номер отчета NYO-3071 (26 января 1952 г.).
6. D Fairlie, Дж. Нуйтс и К. Захос (1988). Phys Lett B202 320-324. Дои:10.1016/0370-2693(88)90478-9