Однородное распределение - Homogeneous distribution

Не путать с Равномерное распределение (значения).

В математика, а однородное распределение это распределение S на Евклидово пространство р^п или же р^п \ {0} то есть однородный в том смысле, что, грубо говоря,

${\displaystyle S(tx)=t^{m}S(x)\,}$

для всех т > 0.

Точнее, пусть ${\displaystyle \mu _{t}:x\mapsto x/t}$ - оператор скалярного деления на р^п. Распределение S на р^п или же р^п \ {0} однородна степени м при условии, что

${\displaystyle S[t^{-n}\varphi \circ \mu _{t}]=t^{m}S[\varphi ]}$

для всего позитивного реального т и все тестовые функции φ. Дополнительный фактор т^−п необходим для воспроизведения обычного понятия однородности для локально интегрируемых функций и возникает из Якобиева замена переменных. Номер м может быть реальным или сложным.

Продолжить данное однородное распределение с заданного однородного распределения может оказаться нетривиальной задачей. р^п {0} к раздаче на р^п, хотя это необходимо для многих техник Анализ Фурье, в частности преобразование Фурье, чтобы привести в действие. Однако такое расширение существует в большинстве случаев, хотя оно может не быть уникальным.

Характеристики

Если S однородное распределение на р^п {0} степени α, то слабый первая частная производная из S

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}}$

имеет степень α − 1. Кроме того, версия Теорема Эйлера об однородных функциях имеет: распределение S однородна степени α тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}=\alpha S.}$

Одно измерение

Возможна полная классификация однородных распределений в одном измерении. Однородные распределения на р \ {0} даются различными степенные функции. Помимо степенных функций, однородные распределения на р включить Дельта-функция Дирака и его производные.

Дельта-функция Дирака однородна степени −1. Интуитивно

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\delta (tx)\varphi (x)\,dx=\int _{\mathbb {R} }\delta (y)\varphi (y/t)\,{\frac {dy}{t}}=t^{-1}\varphi (0)}$

путем замены переменных у = tx в «Интеграл». Более того, k-я слабая производная дельта-функции δ^(k) однородна степени -k−1. Все эти дистрибутивы имеют поддержку, состоящую только из источника: при локализации р \ {0} все эти распределения тождественно равны нулю.

Икс^α
₊

В одном измерении функция

${\displaystyle x_{+}^{\alpha }={\begin{cases}x^{\alpha }&{\text{if }}x>0\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

локально интегрируема на р \ {0}, и таким образом определяет распределение. Распределение однородно степени α. по аналогии ${\displaystyle x_{-}^{\alpha }=(-x)_{+}^{\alpha }}$ и ${\displaystyle |x|^{\alpha }=x_{+}^{\alpha }+x_{-}^{\alpha }}$ являются однородными распределениями степени α.

Однако каждое из этих распределений интегрируемо только локально на всех р при условии, что Re (α)> −1. Но хотя функция ${\displaystyle x_{+}^{\alpha }}$ наивно определенное вышеприведенной формулой не может быть локально интегрируемым при Re α ≤ −1, отображение

${\displaystyle \alpha \mapsto x_{+}^{\alpha }}$

это голоморфная функция из правой полуплоскости в топологическое векторное пространство темперированных распределений. Он допускает уникальный мероморфный расширение с простыми полюсами у каждого отрицательного целого числа α = −1, −2, .... Результирующее расширение однородно степени α при условии, что α не является целым отрицательным числом, поскольку, с одной стороны, соотношение

${\displaystyle x_{+}^{\alpha }[\varphi \circ \mu _{t}]=t^{\alpha +1}x_{+}^{\alpha }[\varphi ]}$

выполняется и голоморфно в α> 0. С другой стороны, обе стороны мероморфно продолжаются в α и, таким образом, остаются равными во всей области определения.

Во всей области определения Икс^α
₊ также удовлетворяет следующим свойствам:

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x_{+}^{\alpha }=\alpha x_{+}^{\alpha -1}}$
• ${\displaystyle xx_{+}^{\alpha }=x_{+}^{\alpha +1}}$

Прочие расширения

Есть несколько различных способов распространить определение степенных функций на однородные распределения на р при отрицательных целых числах.

χ^α
₊

Полюса в Икс^α
₊ при отрицательных целых числах можно удалить перенормировкой. Положить

${\displaystyle \chi _{+}^{\alpha }={\frac {x_{+}^{\alpha }}{\Gamma (1+\alpha )}}.}$

Это вся функция из α. При отрицательных целых числах

${\displaystyle \chi _{+}^{-k}=\delta ^{(k-1)}.}$

Распределения ${\displaystyle \chi _{+}^{a}}$ иметь свойства

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\chi _{+}^{\alpha }=\chi _{+}^{\alpha -1}}$
• ${\displaystyle x\chi _{+}^{\alpha }=\alpha \chi _{+}^{\alpha +1}.}$

${\displaystyle {\underline {x}}^{k}}$

Второй подход - определить распределение ${\displaystyle {\underline {x}}^{-k}}$, за k = 1, 2, ...,

${\displaystyle {\underline {x}}^{-k}={\frac {(-1)^{k-1}}{(k-1)!}}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}\log |x|.}$

Они явно сохраняют исходные свойства степенных функций:

• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\underline {x}}^{-k}=-k{\underline {x}}^{-k-1}}$
• ${\displaystyle x{\underline {x}}^{-k}={\underline {x}}^{-k+1},\quad {\text{if }}k>1.}$

Эти распределения также характеризуются своим действием на тестовые функции.

${\displaystyle {\underline {x}}^{-k}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\phi (x)-\sum _{j=0}^{k-1}x^{j}\phi ^{(j)}(0)/j!}{x^{k}}}\,dx,}$

и так обобщить Главное значение Коши распределение 1 /Икс что возникает в Преобразование Гильберта.

(Икс ± i0)^α

Другое однородное распределение задается пределом распределения

${\displaystyle (x+i0)^{\alpha }=\lim _{\epsilon \downarrow 0}(x+i\epsilon )^{\alpha }.}$

То есть действуя на тестовые функции

${\displaystyle (x+i0)^{\alpha }[\varphi ]=\lim _{\epsilon \downarrow 0}\int _{\mathbb {R} }(x+i\epsilon )^{\alpha }\varphi (x)\,dx.}$

Ветвь логарифма выбирается однозначной в верхней полуплоскости и согласованной с натуральным логарифмом вдоль положительной вещественной оси. Как предел целых функций, (Икс + i0)^α[φ] является целой функцией от α. По аналогии,

${\displaystyle (x-i0)^{\alpha }=\lim _{\epsilon \downarrow 0}(x-i\epsilon )^{\alpha }}$

также является корректным распределением для всех α

Когда Re α> 0,

${\displaystyle (x\pm i0)^{\alpha }=x_{+}^{\alpha }+e^{\pm i\pi \alpha }x_{-}^{\alpha },}$

которое затем выполняется аналитическим продолжением, когда α не является отрицательным целым числом. Благодаря постоянству функциональных отношений,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x\pm i0)^{\alpha }=\alpha (x\pm i0)^{\alpha -1}.}$

При отрицательных целых числах тождество выполняется (на уровне распределений на р \ {0})

${\displaystyle (x\pm i0)^{-k}=x_{+}^{-k}+(-1)^{k}x_{-}^{-k}\pm \pi i(-1)^{k}{\frac {\delta ^{(k-1)}}{(k-1)!}},}$

и особенности сокращаются, давая хорошо определенное распределение на р. Среднее значение двух распределений согласуется с ${\displaystyle {\underline {x}}^{-k}}$:

${\displaystyle {\frac {(x+i0)^{-k}+(x-i0)^{-k}}{2}}={\underline {x}}^{-k}.}$

Разница между двумя распределениями кратна дельта-функции:

${\displaystyle (x+i0)^{-k}-(x-i0)^{-k}=2\pi i(-1)^{k}{\frac {\delta ^{(k-1)}}{(k-1)!}},}$

который известен как Племель отношение скачка.

Классификация

Справедлива следующая классификационная теорема (Гельфанд и Шилов 1966, §3.11). Позволять S - однородное распределение степени α на р \ {0}. потом ${\displaystyle S=ax_{+}^{\alpha }+bx_{-}^{\alpha }}$ для некоторых констант а, б. Любое распространение S на р однородный по степени α ≠ −1, −2, ... тоже имеет эту форму. В результате каждое однородное распределение степени α ≠ −1, −2, ... на р \ {0} распространяется на р.

Наконец, однородные распределения степени -k, отрицательное целое число, на р все имеют форму:

${\displaystyle a{\underline {x}}^{-k}+b\delta ^{(k-1)}.}$

Высшие измерения

Однородные распределения на евклидовом пространстве. р^п \ {0} с удаленным источником всегда имеют форму

${\displaystyle S(x)=f(x/|x|)|x|^{\lambda }\,}$

(1)

куда ƒ является распределением на единичной сфере S^п−1. Число λ, которое является степенью однородного распределения S, может быть реальным или сложным.

Любое однородное распределение вида (1) на р^п \ {0} однозначно продолжается до однородного распределения на р^п при условии Re λ> -п. Фактически, аргумент аналитического продолжения, аналогичный одномерному случаю, распространяет это на все λ ≠ -п, −п−1, ....

Рекомендации

• Гельфанд И.М .; Шилов, Г. (1966), Обобщенные функции, 1, Academic Press.
• Хёрмандер, Л. (1976), Линейные дифференциальные операторы с частными производными, том 1, Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-00662-6.
• Тейлор, Майкл (1996), Уравнения в частных производных, т. 1, Springer-Verlag.