Гомотопическая категория цепных комплексов - Homotopy category of chain complexes

В гомологическая алгебра в математика, то гомотопическая категория К (А) цепных комплексов в аддитивная категория А представляет собой основу для работы с цепными гомотопиями и гомотопическими эквивалентностями. Он занимает промежуточное положение между категорией цепные комплексы Ком (А) из А и производная категория D (А) из А когда А является абелевский; в отличие от первого, это триангулированная категория, и в отличие от последнего для его образования не требуется А абелева. Философски, в то время как D (А) делает изоморфизмы любых отображений комплексов, квазиизоморфизмы в Ком (А), К (А) делает это только для тех, которые являются квазиизоморфизмами по «уважительной причине», а именно, фактически имеют обратную с точностью до гомотопической эквивалентности. Таким образом, К (А) более понятно чем D (А).

Определения

Позволять А быть аддитивная категория. Гомотопическая категория К (А) основан на следующем определении: если у нас есть комплексы А, B и карты ж, грамм из А к B, а цепная гомотопия из ж к грамм это коллекция карт ${displaystyle h^{n}colon A^{n} o B^{n-1}}$ (нет карта комплексов) такая, что

${displaystyle f^{n}-g^{n}=d_{B}^{n-1}h^{n}+h^{n+1}d_{A}^{n},}$ или просто ${displaystyle f-g=d_{B}h+hd_{A}.}$

Это можно изобразить как:

Мы также говорим, что ж и грамм находятся цепной гомотопный, или это ${displaystyle f-g}$ является нуль-гомотопный или же гомотопный 0. Из определения ясно, что отображения комплексов, гомотопные нулю, образуют группу по сложению.

В гомотопическая категория цепных комплексов К (А) затем определяется следующим образом: его объекты такие же, как объекты Ком (А), а именно цепные комплексы. Его морфизмы - это «отображения комплексов по модулю гомотопии»: то есть мы определяем отношение эквивалентности

${displaystyle fsim g }$ если ж гомотопен грамм

и определить

${displaystyle operatorname {Hom} _{K(A)}(A,B)=operatorname {Hom} _{Kom(A)}(A,B)/sim }$

быть частное этим отношением. Ясно, что это приводит к аддитивной категории, если заметить, что это то же самое, что и факторизация по подгруппе нуль-гомотопных отображений.

Также широко используются следующие варианты определения: если взять только ограниченный снизу (А^п= 0 для n << 0), ограниченный сверху (А^п= 0 для n >> 0), или же ограниченный (А^п= 0 для | n | >> 0) комплексов вместо неограниченных, говорят о ограниченная снизу гомотопическая категория и т. д. Они обозначаются K⁺(А), K⁻(А) и K^б(А), соответственно.

Морфизм ${displaystyle f:Aightarrow B}$ который является изоморфизмом в К (А) называется гомотопическая эквивалентность. В деталях это означает, что есть еще одна карта ${displaystyle g:Bightarrow A}$, такие, что две композиции гомотопны тождествам: ${displaystyle fcirc gsim Id_{B}}$ и${displaystyle gcirc fsim Id_{A}}$.

Название «гомотопия» происходит от того факта, что гомотопный карты топологические пространства индуцируют гомотопические (в указанном выше смысле) отображения особые цепи.

Замечания

Две цепные гомотопические отображения ж и грамм индуцируют те же отображения на гомологиях, поскольку (ж - ж) отправляет циклы к границы, нулевые в гомологиях. В частности, гомотопическая эквивалентность - это квазиизоморфизм. (Обратное, вообще говоря, неверно.) Это показывает, что существует канонический функтор ${displaystyle K(A)ightarrow D(A)}$ к производная категория (если А является абелевский ).

Триангулированная структура

В сдвиг А [1] комплекса А следующий комплекс

${displaystyle A[1]:... o A^{n+1}{xrightarrow {d_{A[1]}^{n}}}A^{n+2} o ...}$ (Обратите внимание, что ${displaystyle (A[1])^{n}=A^{n+1}}$),

где дифференциал ${displaystyle d_{A[1]}^{n}:=-d_{A}^{n+1}}$.

Для конуса морфизма ж мы берем картографический конус. Есть природные карты

${displaystyle A{xrightarrow {f}}B o C(f) o A[1]}$

Эта диаграмма называется треугольник. Гомотопическая категория К (А) это триангулированная категория, если определить выделенные треугольники как изоморфные (в К (А), т.е. гомотопический эквивалент) указанным выше треугольникам для произвольных А, B и ж. То же верно и для ограниченных вариантов K⁺(А), K⁻(А) и K^б(А). Хотя треугольники имеют смысл в Ком (А) кроме того, эта категория не триангулирована относительно этих выделенных треугольников; Например,

${displaystyle X{xrightarrow {id}}X o 0 o }$

не выделяется, поскольку конус тождественного отображения не изоморфен комплексу 0 (однако нулевое отображение ${displaystyle C(id) o 0}$ является гомотопической эквивалентностью, так что этот треугольник является отличился в К (А)). Кроме того, очевидно, что поворот выделенного треугольника не выделяется в Ком (А), но (менее очевидно) выделяется в К (А). Смотрите ссылки для деталей.

Обобщение

В более общем смысле, гомотопическая категория Хо (С) из дифференциальная категория C определяется, чтобы иметь те же объекты, что и C, но морфизмы определяются${displaystyle operatorname {Hom} _{Ho(C)}(X,Y)=H^{0}operatorname {Hom} _{C}(X,Y)}$. (Это сводится к гомотопии цепных комплексов, если C - категория комплексов, морфизмы которых не должны уважать дифференциалы). Если C имеет конусы и сдвиги в подходящем смысле, тогда Хо (С) также является триангулированной категорией.

Рекомендации

• Манин Юрий Иванович; Гельфанд, Сергей I. (2003), Методы гомологической алгебры, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-43583-9
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру. Кембриджские исследования в области высшей математики. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55987-4. МИСТЕР  1269324. OCLC  36131259.