Диэлектрик Хопфилда - Hopfield dielectric

Hopfield диэлектрик - в квантовая механика модель диэлектрик состоящий из квантовые гармонические осцилляторы взаимодействуя с режимами квантовое электромагнитное поле. Коллективное взаимодействие зарядовых поляризационных мод с вакуумными возбуждениями, фотоны приводит к возмущению как линейных соотношение дисперсии фотонов и постоянной дисперсии зарядовых волн избежать перехода между двумя линиями дисперсии поляритоны.^[1] Аналогично акустическому и оптическому фононы и вдали от резонанса одна ветвь фотоноподобна, а другая заряжена волне. С математической точки зрения диэлектрик Хопфилда для одной моды возбуждения эквивалентен Троянский волновой пакет в гармоническом приближении. Модель диэлектрика Хопфилда предсказывает существование вечных захваченных замороженных фотонов, подобных Радиация Хокинга внутри вещества с плотностью, пропорциональной силе связи материи и поля.

Теория

Гамильтониан квантованного диэлектрика Лоренца, состоящий из ${\displaystyle N}$ гармонические осцилляторы, взаимодействующие с квантовым электромагнитным полем, можно записать в дипольном приближении как:

${\displaystyle H=\sum \limits _{A=1}^{N}{{p_{A}}^{2} \over 2m}+{{m{\omega }^{2}} \over 2}{x_{A}}^{2}-e{x_{A}}\cdot E(r_{A})+\sum \limits _{\lambda =1}^{2}\int d^{3}ka_{\lambda k}^{+}a_{\lambda k}\hbar ck}$

куда

${\displaystyle E(r_{A})={i \over L^{3}}\sum \limits _{\lambda =1}^{2}\int d^{3}k[{{ck} \over {2\epsilon _{0}}}]^{1 \over 2}[e_{\lambda }(k)a_{\lambda }(k)\exp(ikr_{A})-H.C.]}$

- оператор электрического поля, действующий в позиции ${\displaystyle r_{A}}$.

Выражая это в терминах операторов рождения и уничтожения гармонических осцилляторов, получаем

${\displaystyle H=\sum \limits _{A=1}^{N}(a_{A}^{+}\cdot a_{A})\hbar \omega -{e \over {{\sqrt {2}}\beta }}(a_{A}+{a_{A}}^{+})\cdot E(r_{A})+\sum _{\lambda }\sum _{k}a_{\lambda k}^{+}a_{\lambda k}\hbar ck}$

Предполагая, что осцилляторы находятся на каком-то регулярном твердый решетки и применяя поляритонное преобразование Фурье

${\displaystyle B_{k}^{+}={1 \over {\sqrt {N}}}\sum \limits _{A=1}^{N}\exp(ikr_{A})a_{A}^{+},}$

${\displaystyle B_{k}={1 \over {\sqrt {N}}}\sum \limits _{A=1}^{N}\exp(-ikr_{A})a_{A}}$

и определение проекций зарядовых волн осциллятора на направления поляризации электромагнитного поля

${\displaystyle B_{\lambda k}^{+}=e_{\lambda }(k)\cdot B_{k}^{+}}$

${\displaystyle B_{\lambda k}=e_{\lambda }(k)\cdot B_{k},}$

после отбрасывания продольных вкладов, не взаимодействующих с электромагнитным полем, можно получить гамильтониан Хопфилда

${\displaystyle H=\sum _{\lambda }\sum _{k}(B_{\lambda k}^{+}B_{\lambda k}+{1 \over 2})\hbar \omega +\hbar cka_{\lambda k}^{+}a_{\lambda k}+{ie\hbar \over {\sqrt {\epsilon _{0}m\omega }}}{\sqrt {N \over V}}{\sqrt {ck}}[B_{\lambda k}a_{\lambda -k}+B_{\lambda k}^{+}a_{\lambda k}-B_{\lambda k}^{+}a_{\lambda -k}^{+}-B_{\lambda k}a_{\lambda k}^{+}]}$

Поскольку взаимодействие не смешивает поляризации, его можно преобразовать в нормальную форму с собственными частотами двух поляритонных ветвей:

${\displaystyle H=\sum _{\lambda }\sum _{k}\left[\Omega _{+}(k)C_{\lambda +k}^{+}C_{\lambda +k}+\Omega _{-}(k)C_{\lambda -k}^{+}C_{\lambda -k}\right]+const}$

с уравнением на собственные значения

${\displaystyle [C_{\lambda \pm k},H]=\Omega _{\pm }(k)C_{\lambda \pm k}}$

${\displaystyle C_{\lambda \pm k}=c_{1}a_{\lambda k}+c_{2}a_{\lambda -k}+c_{3}a_{\lambda k}^{+}+c_{4}a_{\lambda -k}^{+}+c_{5}B_{\lambda k}+c_{6}B_{\lambda -k}+c_{7}B_{\lambda k}^{+}+c_{8}B_{\lambda -k}^{+}}$

куда

${\displaystyle \Omega _{-}(k)^{2}={\omega ^{2}+\Omega ^{2}-{\sqrt {{(\omega ^{2}-\Omega ^{2})}^{2}+4{g}\omega ^{2}\Omega ^{2}}} \over 2},}$

${\displaystyle \Omega _{+}(k)^{2}={\omega ^{2}+\Omega ^{2}+{\sqrt {{(\omega ^{2}-\Omega ^{2})}^{2}+4{g}\omega ^{2}\Omega ^{2}}} \over 2}}$,

с

${\displaystyle \Omega (k)=ck,}$

(вакуумная дисперсия фотонов) и

${\displaystyle g={{Ne^{2}} \over {Vm\epsilon _{0}\omega ^{2}}}}$

- безразмерная константа связи, пропорциональная плотности ${\displaystyle N/V}$ диэлектрика с частотой Лоренца ${\displaystyle \omega }$ (тесный переплет можно заметить, что в отличие от вакуума электромагнитного поля без вещества математическое ожидание среднего числа фотонов ${\displaystyle <a_{\lambda k}^{+}a_{\lambda k}>}$ отлична от нуля в основном состоянии поляритонного гамильтониана${\displaystyle C_{k\pm }|\mathbf {0} >=0}$ аналогично излучению Хокинга в окрестности черная дыра из-за Эффект Унру-Дэвиса. Нетрудно заметить, что нижняя собственная частота ${\displaystyle \Omega _{-}}$ становится мнимым, когда константа связи становится критической при ${\displaystyle g>1}$ что предполагает, что диэлектрик Хопфилда подвергнется сверхизлучательный фазовый переход.

Рекомендации

1. Хопфилд, Дж. Дж. (1958). «Теория вклада экситонов в комплексную диэлектрическую проницаемость кристаллов». Физический обзор. 112 (5): 1555–1567. Bibcode:1958ПхРв..112.1555Г. Дои:10.1103 / PhysRev.112.1555.