Гистерезисная модель - Hysteretic model

Гистерезисные модели находятся математические модели способен моделировать сложное нелинейное поведение, характеризующее механические системы и материалы используется в различных областях техники, таких как аэрокосмический, гражданский, и механический инженерное дело. Некоторые примеры механических систем и материалов, имеющих гистерезисный поведение:

• материалы, такие как стали, железобетон, дерево;
• конструктивные элементы, такие как стальные, железобетонные или деревянные соединения;
• устройства, такие как сейсмические изоляторы^[1] и амортизаторы.

Гистерезисные модели может иметь общее смещение ${\displaystyle u}$ как входная переменная и обобщенная сила ${\displaystyle f}$ в качестве выходной переменной или наоборот. В частности, в гистерезисных моделях, не зависящих от скорости, выходная переменная не зависит от скорости изменения входной.^[2][3]

Гистерезисные модели, не зависящие от скорости, можно разделить на четыре разные категории в зависимости от типа уравнения, которое необходимо решить для вычисления выходной переменной:

• Алгебраические модели
• Трансцендентальные модели
• Дифференциальные модели
• Интегральные модели

Алгебраические модели

В алгебраических моделях выходная переменная вычисляется путем решения алгебраические уравнения.

Билинейная модель

Формулировка модели

В билинейной модели, сформулированной Vaiana et al. (2018),^[4] обобщенная сила во времени т, представляющая выходную переменную, оценивается как функция обобщенного смещения следующим образом:

${\displaystyle f_{t}=k_{a}\left(u_{t}-u_{j}\right)+k_{b}u_{j}+s_{t}f_{0}{\text{ when }}u_{t}s_{t}<u_{j}s_{t},}$

${\displaystyle f_{t}=k_{b}u_{j}+s_{t}f_{0}{\text{ when }}u_{t}s_{t}>u_{j}s_{t},}$

куда ${\displaystyle k_{a},k_{b},}$ и ${\displaystyle f_{0}}$ - три параметра модели, которые необходимо откалибровать из экспериментальных или численных испытаний, тогда как ${\displaystyle s_{t}}$ знак обобщенной скорости в момент времени ${\displaystyle t}$, то есть, ${\displaystyle s_{t}=\operatorname {sign} ({\dot {u}}_{t})}$. Более того, ${\displaystyle u_{0}}$- это внутренний параметр модели, оцениваемый как:

${\displaystyle u_{0}={\frac {f_{0}}{k_{a}-k_{b}}},}$

в то время как ${\displaystyle u_{j}}$ это переменная истории:

${\displaystyle u_{j}={\frac {k_{a}u_{t-\Delta t}+s_{t}f_{0}-f_{t-\Delta t}}{k_{a}-k_{b}}}}$.

Формы петли гистерезиса

На рисунке 1.1 показаны два разных петля гистерезиса формы, полученные путем применения синусоидального обобщенного смещения, имеющего единицу амплитуда и частота и моделируется путем принятия параметров билинейной модели (BM), перечисленных в таблице 1.1.

Рисунок 1.1. Петли гистерезиса, воспроизведенные с использованием параметров модели BM в таблице 1.1.

Таблица 1.1 - Параметры БМ

	${\displaystyle k_{a}}$	${\displaystyle k_{b}}$	${\displaystyle f_{0}}$
(а)	10.0	1.0	0.5
(б)	10.0	-1.0	0.5

Код Matlab

%  =========================================================================================% Июнь 2020% Алгоритм билинейной модели% Николо Вайана, научный сотрудник в области структурной механики и динамики, доктор философии % Департамент конструкций для проектирования и архитектуры % Неаполитанский университет имени Федерико II% через Клаудио, 21 - 80124, Неаполь%  =========================================================================================clc; Чисто все; Закрыть все;%% ИСТОРИЯ ПРИЛОЖЕННОГО ВРЕМЕНИ СМЕЩЕНИЯdt = 0.001;                                                                %шаг временит  = 0: dt: 1,50;                                                            %временной интервала0 = 1;                                                                    % приложенной амплитуды смещенияfr = 1;                                                                    % применяемой частоты смещенияты  = a0 * sin ((2 * pi * fr) * t (1: длина (t)));                                     % приложенного вектора смещенияv  = 2 * пи * fr * a0 * cos ((2 * pi * fr) * t (1: длина (t)));                             % приложенного вектора скоростип  = длина (u);                                                            % приложенной длины вектора смещения%% 1. НАЧАЛЬНЫЕ НАСТРОЙКИ% 1.1 Установите пять параметров моделика = 10.0;                                                                 % параметр моделиkb = 1.0;                                                                  % параметр моделиf0 = 0.5;                                                                  % параметр модели% 1.2 Вычислить внутренние параметры модели u0 = f0/(ка-kb);                                                           % внутренний параметр модели% 1.3 Инициализировать вектор обобщенной силыж  = нули (1, n);%% 2. РАСЧЕТЫ НА КАЖДОМ ШАГЕза я = 2: п% 2.1 Обновить переменную историиuj = (ка*ты(я-1)+знак(v(я))*f0-ж(я-1))/(ка-kb);% 2.2 Оцените обобщенную силу в момент времени tесли (знак(v(я))*uj)-2*u0 < знак(v(я))*ты(я) && знак(v(я))*ты(я) < знак(v(я))*uj    ж(я) = ка*(ты(я)-uj)+kb*uj+знак(v(я))*f0;ещеf (i) = kb * u (i) + знак (v (i)) * f0;конецконец%% УЧАСТОКфигураplot (u, f, 'k', 'linewidth', 4)набор(gca,'Размер шрифта',28)набор(gca,'FontName',"Times New Roman")xlabel('генерализованное смещение'), ярлык('обобщенная сила')сеткауменьшить масштаб

Алгебраическая модель Vaiana et al. (2019)

Формулировка модели

В алгебраической модели, разработанной Vaiana et al. (2019),^[5] обобщенная сила во времени ${\displaystyle t}$, представляющая выходную переменную, оценивается как функция обобщенного смещения следующим образом:

${\displaystyle f_{t}=\beta _{1}u_{t}^{3}+\beta _{2}u_{t}^{5}+k_{b}u_{t}+\left(k_{a}-k_{b}\right)\left[{\frac {(1+s_{t}u_{t}-s_{t}u_{j}+2u_{0})^{1-\alpha }}{s_{t}(1-\alpha )}}-{\frac {(1+2u_{0})^{1-\alpha }}{s_{t}(1-\alpha )}}\right]+s_{t}f_{0}{\text{ when }}u_{t}s_{t}<u_{j}s_{t},}$

${\displaystyle f_{t}=\beta _{1}u_{t}^{3}+\beta _{2}u_{t}^{5}+k_{b}u_{t}+s_{t}f_{0}{\text{ when }}u_{t}s_{t}>u_{j}s_{t},}$

куда ${\displaystyle k_{a},k_{b},\alpha }$, ${\displaystyle \beta _{1}}$ и ${\displaystyle \beta _{2}}$ - пять параметров модели, которые необходимо откалибровать на основе экспериментальных или численных испытаний, тогда как ${\displaystyle s_{t}}$ знак обобщенной скорости в момент времени ${\displaystyle t}$, то есть, ${\displaystyle s_{t}=\operatorname {sign} ({\dot {u}}_{t})}$. Более того, ${\displaystyle u_{0}}$и ${\displaystyle f_{0}}$ два внутренних параметра модели, оцениваемые как:

${\displaystyle u_{0}={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {k_{a}-k_{b}}{10^{-20}}}\right)^{1/\alpha }-1\right],}$

${\displaystyle f_{0}={\frac {k_{a}-k_{b}}{2}}\left[{\frac {\left(1+2u_{0}\right)^{1-\alpha }-1}{1-\alpha }}\right],}$

в то время как ${\displaystyle u_{j}}$ это переменная истории:

${\displaystyle u_{j}=u_{t-\Delta t}+s_{t}(1+2u_{0})-s_{t}\left\lbrace {\frac {s_{t}(1-\alpha )}{k_{a}-k_{b}}}\left[f_{t-\Delta t}-\beta _{1}u_{t-\Delta t}^{3}-\beta _{2}u_{t-\Delta t}^{5}-k_{b}u_{t-\Delta t}-s_{t}f_{0}+(k_{a}-k_{b}){\frac {(1+2u_{0})^{1-\alpha }}{s_{t}(1-\alpha )}}\right]\right\rbrace ^{1/(1-\alpha )}.}$

Формы петли гистерезиса

На рисунке 1.2 показаны четыре различных петля гистерезиса формы, полученные применением синусоидального обобщенного смещения, имеющего единицу амплитуда и частота и моделируется путем принятия параметров алгебраической модели (AM), перечисленных в таблице 1.2.

Рисунок 1.2. Петли гистерезиса, воспроизведенные с использованием параметров модели AM в таблице 1.2.

Таблица 1.2 - Параметры AM

	${\displaystyle k_{a}}$	${\displaystyle k_{b}}$	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle \beta _{1}}$	${\displaystyle \beta _{2}}$
(а)	10.0	1.0	10.0	0.0	0.0
(б)	10.0	1.0	10.0	0.2	0.2
(c)	10.0	1.0	10.0	−0.2	−0.2
(г)	10.0	1.0	10.0	−1.2	1.2

Код Matlab

 1 %  ========================================================================================= 2 % Сентябрь 2019 г. 3 % Алгоритм алгебраической модели 4 % Николо Вайана, постдокторант, PhD  5 % Департамент строительства и архитектуры  6 % Неаполитанский университет имени Федерико II 7 % через Клаудио, 21 - 80125, Неаполь 8 %  ========================================================================================= 9 10 clc; Чисто все; Закрыть все;11 12 %% ИСТОРИЯ ПРИЛОЖЕННОГО ВРЕМЕНИ СМЕЩЕНИЯ13 14 dt = 0.001;                                                                %шаг времени15 т  = 0: dt: 1,50;                                                            %временной интервал16 а0 = 1;                                                                    % приложенной амплитуды смещения17 fr = 1;                                                                    % применяемой частоты смещения18 ты  = a0 * sin ((2 * pi * fr) * t (1: длина (t)));                                     % приложенного вектора смещения19 v  = 2 * пи * fr * a0 * cos ((2 * pi * fr) * t (1: длина (t)));                             % приложенного вектора скорости20 п  = длина (u);                                                            % приложенной длины вектора смещения21 22 %% 1. НАЧАЛЬНЫЕ НАСТРОЙКИ23 % 1.1 Установите пять параметров модели24 ка  = 10.0;                                                              % параметр модели25 kb  = 1.0;                                                               % параметр модели26 альфа  = 10.0;                                                              % параметр модели27 beta1 = 0.0;                                                               % параметр модели28 бета2 = 0.0;                                                               % параметр модели29 % 1.2 Вычислить внутренние параметры модели 30 u0  = (1/2) * ((((ka-kb) / 10 ^ -20) ^ (1 / alfa)) - 1);                             % внутренний параметр модели31 f0  = ((ka-kb) / 2) * ((((1 + 2 * u0) ^ (1-alfa)) - 1) / (1-alfa));                    % внутренний параметр модели32 % 1.3 Инициализировать вектор обобщенной силы33 ж  = нули (1, n);34 35 %% 2. РАСЧЕТЫ НА КАЖДОМ ШАГЕ36 37 за я = 2: п38 % 2.1 Обновить переменную истории39 uj = ты(я-1)+знак(v(я))*(1+2*u0)-знак(v(я))*((((знак(v(я))*(1-альфа))/(ка-kb))*(ж(я-1)-beta1*ты(я-1)^3-бета2*ты(я-1)^5-kb*ты(я-1)-знак(v(я))*f0+(ка-kb)*(((1+2*u0)^(1-альфа))/(знак(v(я))*(1-альфа)))))^(1/(1-альфа)));40 % 2.2 Оцените обобщенную силу в момент времени t41 если (знак(v(я))*uj)-2*u0 < знак(v(я))*ты(я) || знак(v(я))*ты(я) < знак(v(я))*uj42     ж(я) = beta1*ты(я)^3+бета2*ты(я)^5+kb*ты(я)+(ка-kb)*((((1+2*u0+знак(v(я))*(ты(я)-uj))^(1-альфа))/(знак(v(я))*(1-альфа)))-(((1+2*u0)^(1-альфа))/(знак(v(я))*(1-альфа))))+знак(v(я))*f0;43 еще44 f (i) = beta1 * u (i) ^ 3 + beta2 * u (i) ^ 5 + kb * u (i) + знак (v (i)) * f0;45 конец46 конец47 48 %% УЧАСТОК49 фигура50 plot (u, f, 'k', 'linewidth', 4)51 набор(gca, 'Размер шрифта', 28)52 набор(gca, 'FontName', "Times New Roman")53 xlabel('генерализованное смещение'), ярлык('обобщенная сила')54 сетка55 уменьшить масштаб

Трансцендентальные модели

В трансцендентных моделях выходная переменная вычисляется путем решения трансцендентные уравнения, а именно уравнения, содержащие тригонометрический, обратная тригонометрия, экспоненциальный, логарифмический, и / или гиперболический функции.

Экспоненциальные модели

Экспоненциальная модель Vaiana et al. (2018)

Формулировка модели

В экспоненциальной модели, разработанной Vaiana et al. (2018),^[4] обобщенная сила во времени ${\displaystyle t}$, представляющая выходную переменную, оценивается как функция обобщенного смещения следующим образом:

${\displaystyle f_{t}=-2\beta u_{t}+e^{\beta u_{t}}-e^{-\beta u_{t}}+k_{b}u_{t}-s_{t}{\frac {k_{a}-k_{b}}{\alpha }}\left[e^{-\alpha (u_{t}s_{t}-u_{j}s_{t}+2u_{0})}-e^{-2\alpha u_{0}}\right]+f_{0}s_{t}{\text{ when }}u_{t}s_{t}<u_{j}s_{t},}$

${\displaystyle f_{t}=-2\beta u_{t}+e^{\beta u_{t}}-e^{-\beta u_{t}}+k_{b}u_{t}+f_{0}s_{t}{\text{ when }}u_{t}s_{t}>u_{j}s_{t},}$

куда ${\displaystyle k_{a},k_{b},\alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ - четыре параметра модели, которые необходимо откалибровать из экспериментальных или численных испытаний, тогда как ${\displaystyle s_{t}}$ знак обобщенной скорости в момент времени ${\displaystyle t}$, то есть, ${\displaystyle s_{t}=\operatorname {sign} ({\dot {u}}_{t})}$. Более того, ${\displaystyle u_{0}}$и ${\displaystyle f_{0}}$ два внутренних параметра модели, оцениваемые как:

${\displaystyle u_{0}=-{\frac {1}{2\alpha }}\ln \left({\frac {10^{-20}}{k_{a}-k_{b}}}\right),}$

${\displaystyle f_{0}={\frac {k_{a}-k_{b}}{2\alpha }}\left(1-e^{-2\alpha u_{0}}\right),}$

в то время как ${\displaystyle u_{j}}$ это переменная истории:

${\displaystyle u_{j}=u_{t-\Delta t}+2u_{0}s_{t}+{\frac {s_{t}}{\alpha }}\ln \left[{\frac {\alpha s_{t}}{k_{a}-k_{b}}}\left(-2\beta u_{t-\Delta t}+e^{\beta u_{t-\Delta t}}-e^{-\beta u_{t-\Delta t}}+k_{b}u_{t-\Delta t}+{\frac {k_{a}-k_{b}}{\alpha }}s_{t}e^{-2\alpha u_{0}}+f_{0}s_{t}-f_{t-\Delta t}\right)\right].}$

Формы петли гистерезиса

На рисунке 2.1 показаны четыре различных петля гистерезиса формы, полученные путем применения синусоидального обобщенного смещения, имеющего единицу амплитуда и частота и моделируется путем принятия параметров экспоненциальной модели (EM), перечисленных в таблице 2.1.

Рисунок 2.1. Петли гистерезиса воспроизведены с использованием параметров модели ЭМ в таблице 2.1.

Таблица 2.1 - Параметры ЭМ

	${\displaystyle k_{a}}$	${\displaystyle k_{b}}$	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle \beta }$
(а)	5.0	0.5	5.0	0.0
(б)	5.0	−0.5	5.0	0.0
(c)	5.0	0.5	5.0	1.0
(г)	5.0	0.5	5.0	−1.0

Код Matlab

 1 %  ========================================================================================= 2 % Сентябрь 2019 г. 3 % Алгоритм экспоненциальной модели 4 % Николо Вайана, постдокторант, PhD  5 % Департамент строительства и архитектуры  6 % Неаполитанский университет имени Федерико II 7 % через Клаудио, 21 - 80125, Неаполь 8 %  ========================================================================================= 9 10 clc; Чисто все; Закрыть все;11 12 %% ИСТОРИЯ ПРИЛОЖЕННОГО ВРЕМЕНИ СМЕЩЕНИЯ13 14 dt = 0.001;                                                                %шаг времени15 т  = 0: dt: 1,50;                                                            %временной интервал16 а0 = 1;                                                                    % приложенной амплитуды смещения17 fr = 1;                                                                    % применяемой частоты смещения18 ты  = a0 * sin ((2 * pi * fr) * t (1: длина (t)));                                     % приложенного вектора смещения19 v  = 2 * пи * fr * a0 * cos ((2 * pi * fr) * t (1: длина (t)));                             % приложенного вектора скорости20 п  = длина (u);                                                            % приложенной длины вектора смещения21 22 %% 1. НАЧАЛЬНЫЕ НАСТРОЙКИ23 % 1.1 Установите четыре параметра модели24 ка  = 5.0;                                                               % параметр модели25 kb  = 0.5;                                                               % параметр модели26 альфа  = 5.0;                                                               % параметр модели27 бета  = 1.0;                                                               % параметр модели28 % 1.2 Вычислить внутренние параметры модели 29 u0  = - (1 / (2 * альфа)) * журнал (10 ^ -20 / (ka-kb));                                 % внутренний параметр модели30 f0  = ((ka-kb) / (2 * alfa)) * (1-exp (-2 * alfa * u0));                            % внутренний параметр модели31 % 1.3 Инициализировать вектор обобщенной силы32 ж  = нули (1, n);33 34 %% 2. РАСЧЕТЫ НА КАЖДОМ ШАГЕ35 36 за я = 2: п37 % 2.1 Обновить переменную истории38 uj = ты(я-1)+2*u0*знак(v(я))+знак(v(я))*(1/альфа)*бревно(знак(v(я))*(альфа/(ка-kb))*(-2*бета*ты(я-1)+exp(бета*ты(я-1))-exp(-бета*ты(я-1))+kb*ты(я-1)+знак(v(я))*((ка-kb)/альфа)*exp(-2*альфа*u0)+знак(v(я))*f0-ж(я-1)));39 % 2.2 Оцените обобщенную силу в момент времени t40 если (знак(v(я))*uj)-2*u0 < знак(v(я))*ты(я) || знак(v(я))*ты(я) < знак(v(я))*uj41     ж(я) = -2*бета*ты(я)+exp(бета*ты(я))-exp(-бета*ты(я))+kb*ты(я)-знак(v(я))*((ка-kb)/альфа)*(exp(-альфа*(знак(v(я))*(ты(я)-uj)+2*u0))-exp(-2*альфа*u0))+знак(v(я))*f0;42 еще43 f (i) = -2 * beta * u (i) + exp (beta * u (i)) - exp (-beta * u (i)) + kb * u (i) + знак (v (i)) * f0;44 конец45 конец46 47 %% УЧАСТОК48 фигура49 plot (u, f, 'k', 'linewidth', 4)50 набор(gca, 'Размер шрифта', 28)51 набор(gca, 'FontName', "Times New Roman")52 xlabel('генерализованное смещение'), ярлык('обобщенная сила')53 сетка54 уменьшить масштаб

Дифференциальные модели

Интегральные модели

Рекомендации

1. Вайана, Николо; Спиццуоко, Мариакристина; Серино, Джорджио (июнь 2017 г.). «Тросовые изоляторы для сейсмически изолированных легких конструкций: экспериментальное описание и математическое моделирование». Инженерные сооружения. 140: 498–514. Дои:10.1016 / j.engstruct.2017.02.057.
2. Димиан, Михай; Андрей, Петру (4 ноября 2013 г.). Шумовые явления в гистерезисных системах. ISBN  9781461413745.
3. Вайана, Николо; Сесса, Сальваторе; Розати, Лучано (январь 2021 г.). «Обобщенный класс одноосных независимых от скорости моделей для моделирования явлений асимметричного механического гистерезиса». Механические системы и обработка сигналов. 146: 106984. Дои:10.1016 / j.ymssp.2020.106984.
4. Вайана, Николо; Сесса, Сальваторе; Мармо, Франческо; Розати, Лучано (26 апреля 2018 г.). «Класс одноосных феноменологических моделей для моделирования гистерезисных явлений в механических системах и материалах, не зависящих от скорости». Нелинейная динамика. 93 (3): 1647–1669. Дои:10.1007 / s11071-018-4282-2.
5. Вайана, Николо; Сесса, Сальваторе; Мармо, Франческо; Розати, Лучано (март 2019). «Точная и эффективная с вычислительной точки зрения одноосная феноменологическая модель для эластомерных подшипников, армированных сталью и волокном». Композитные конструкции. 211: 196–212. Дои:10.1016 / j.compstruct.2018.12.017.