Проблема с освещением - Illumination problem

Проблемы с освещением представляют собой класс математических задач, изучающих освещение помещений с зеркальными стенами с помощью точечные источники света.


В проблема освещения это математическая проблема впервые поставил Эрнст Габор Штраус около 1955 года. Одна из его форм гласит: Граница области на плоскости действует как зеркало. Источник света помещается в любую точку кривой. Будет ли освещена каждая точка?

В 1958 г. Роджер Пенроуз решил проблему, придумав область, часть которой остается темной, если лампа помещена в другую часть. Теперь читателю следует взглянуть на его пример, который можно увидеть бесплатно внизу веб-страницы. https://books.google.com/books?id=FTHZUDzW54cC&pg=PA1597 Мы не воспроизводим рисунок здесь, чтобы избежать проблем с авторскими правами. Однако, поскольку изложение там схематично, мы объясним его более подробно. Верхняя часть кривой представляет собой эллипс, разрезанный пополам по своей большой оси. Нижняя часть представляет собой плавную кривую под осью, за исключением фокусов, где она касается большой оси. Он симметричен относительно малой оси. Луч, выходящий из одного фокуса, отражается эллипсом в другой фокус. Для дальнейшего использования мы называем это свойство фокального отражения эллипса. Представьте себе луч света, выходящий из среднего кармана. Позволять V быть точкой, в которой он попадает в эллипс. Это между лучами от V к фокусам, и, следовательно, его отражение также будет между этими двумя лучами и вернется в средний карман. Следовательно, источник света в среднем кармане сделает боковые карманы темными. Поскольку световые пути обратимы, источник света в боковых карманах оставляет темным средний карман.

Пенроуз просто упоминает, что если повернуть кривую вокруг оси симметрии, то получится гладкая трехмерная область, которая не освещается из точек в среднем кармане или боковой канавке. Понимание, которое позволило ему сделать вывод, заключалось в том, что если мы повернем эллипс вокруг его малой оси, эллипсоид будет иметь следующее свойство фокального отражения:

Пусть f - круг, описываемый фокусами. Отражение луча, исходящего из точки f, пересекает f.

Доказательство. Позволять V быть любой точкой купола. Мы хотим доказать, что каждый луч V с точки ж отражается в другой точке ж.

Набор лучей от ж к V образуют наклонный круговой конус О. Нам нужно, чтобы наклонный круговой конус пересекался с плоскостью, а значит, если он конечен, то это был эллипс. Это связано с тем, что уравнение кругового конуса, прямого или наклонного, является квадратичным, и, следовательно, уравнение его пересечения с плоскостью также квадратично. Мы используем тот факт из аналитической геометрии, что квадратичные кривые являются кониками. Остальное, что нам нужно, мы получаем просто из симметрии ситуации следующим образом.

Подумайте о плоскости круга ж как горизонтальный. Плоскость с полуэллипсом и т. Д., Которую мы вращаем, чтобы получить купол, становится вертикальной. В любом положении этой плоскости пара лучей от фокусов будет проходить через противоположные точки ж. Плоскость этих лучей является плоскостью симметрии всей конфигурации и их биссектрисой угла. б перпендикулярно куполу. Пересечение конуса с плоскостью, перпендикулярной к б представляет собой эллипс, симметричный относительно вертикальной плоскости, поэтому его пересечение с вертикальной плоскостью является осью. Эта ось делится пополам биссектрисой угла б, поэтому наклонный круговой конус представляет собой прямой эллиптический конус с осью б. Этот факт теперь позволяет нам сделать вывод, что наклонный круговой конус инвариантен относительно поворота на 180 градусов вокруг б. Такое вращение изменяет любой луч из точки ж к V в свое отражение в куполе. Это доказывает свойство трехмерного отражения от фокуса к фокусу. 

 Теперь мы можем вывести, что луч р  выходящий из центрального кармана отражается обратно в центральный карман, как и в случае с самолетом. Позволять V   быть точкой, где р  попадает в купол. Самолет, образованный р  и нормаль к куполу на V  будет содержать два образующих конуса. Луч р  находится между ними, и поэтому будет его отражение, которое вернется в карман. Следовательно, источник света в центральном кармане оставит желоб не освещенным, и наоборот. Мы можем построить плоские области, не освещаемые ни одной из их точек, следующим образом. Возьмем две непересекающиеся кривые Пенроуза. Вырежьте центральные карманы обоих и соедините две граничные кривые так, чтобы мы получили единую замкнутую кривую. Мы можем думать о кривой двумя способами: первый полуэллипс, когда остальная часть кривой составляет его центральный карман, или второй полуэллипс, а остальная часть кривой составляет его центральный карман. Источник света в любой точке будет находиться в центральном кармане по крайней мере одной из эллиптических частей и не будет освещать боковые карманы этой части. Таким же образом можно построить трехмерные области, не освещаемые ни одной из своих точек.
 Эта проблема также была решена для многоугольный комнаты Джорджа Токарски в 1995 году для 2-х и 3-х измерений, которые показали, что существует неосвещенная многоугольная 26-сторонняя комната с «темным пятном», которое не освещается из другой точки в комнате, даже с учетом повторяющихся отражений.[1] Это были редкие случаи, когда конечное количество темных точки (а не регионы) не освещаются только из фиксированного положения точечного источника.

В 1997 году Г. Токарский и Д. Кастро отдельно выдвинули две разные 24-сторонние комнаты с одинаковыми свойствами.[2][3]

Решения проблемы освещения Джорджем В. Токарским (26 сторон) и Д. Кастро (24 стороны).

В 1995 году Токарский нашел первое многоугольное неосвещаемое помещение с 4-мя сторонами и двумя фиксированными граничными точками.[4]В 2016 году Лельевр, Монтей и Вайс показали, что источник света в многоугольной комнате, углы (в градусах) которой являются рациональными числами, будет освещать весь многоугольник, за возможным исключением конечного числа точек.[5]

Рекомендации

  1. ^ Токарский, Георгий (декабрь 1995 г.). «Полигональные комнаты не освещаются со всех сторон». Американский математический ежемесячный журнал. Университет Альберты, Эдмонтон, Альберта, Канада: Математическая ассоциация Америки. 102 (10): 867–879. Дои:10.2307/2975263. JSTOR  2975263.
  2. ^ Кастро, Давид (январь – февраль 1997 г.). "Исправления" (PDF). Quantum Magazine. Вашингтон, округ Колумбия: Спрингер-Верлаг. 7 (3): 42.
  3. ^ Токарский, Г. (Февраль 1997 г.). «Обратная связь, математические развлечения». Scientific American. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Scientific American, Inc. 276 (2): 98. JSTOR  24993618.
  4. ^ Токарский, Г. (март 1995 г.). «Невозможный выстрел в пул?». SIAM Обзор. Филадельфия, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики. 37 (1): 107–109. Дои:10.1137/1037016.
  5. ^ Лельевр, Самуэль; Монтей, Тьерри; Вайс, Барак (4 июля 2016 г.). «Все освещено». Геометрия и топология. 20 (3): 1737–1762. arXiv:1407.2975. Дои:10.2140 / gt.2016.20.1737.

внешняя ссылка