Промежуточная логика - Intermediate logic

В математическая логика, а суперинтуиционистская логика это логика высказываний расширение интуиционистская логика. Классическая логика является сильнейшей последовательной суперинтуиционистской логикой; таким образом, непротиворечивые суперинтуиционистские логики называются промежуточная логика (логика занимает промежуточное положение между интуиционистской логикой и классической логикой).^[1]

Определение

Суперинтуиционистская логика - это набор L пропозициональных формул в счетном множестве переменных п_я удовлетворяющие следующим свойствам:

1. все аксиомы интуиционистской логики принадлежать L;

2. если F и грамм формулы такие, что F и F → грамм оба принадлежат L, тогда грамм также принадлежит L (закрытие под modus ponens );

3. если F(п₁, п₂, ..., п_п) является формулой L, и грамм₁, грамм₂, ..., грамм_п любые формулы, то F(грамм₁, грамм₂, ..., грамм_п) принадлежит L (закрытие при замене).

Такая логика является промежуточной, если к тому же

4. L не является набором всех формул.

Свойства и примеры

Существует континуум различных промежуточных логик. Конкретные промежуточные логики часто создаются путем добавления одной или нескольких аксиом к интуиционистской логике или посредством семантического описания. Примеры промежуточной логики включают:

• интуиционистская логика (МПК, Int, IL, ЧАС)
• классическая логика (Цена за клик, Cl, CL): МПК + п ∨ ¬п = МПК + ¬¬п → п = МПК + ((п → q) → п) → п
• логика слабых исключенный средний (KC, Янков логика, Де Морган логика^[2]): МПК + ¬¬п ∨ ¬п
• Гёдель –Dummett логика (LC, грамм): МПК + (п → q) ∨ (q → п)
• Kreisel –Putnam логика (КП): МПК + (¬п → (q ∨ р)) → ((¬п → q) ∨ (¬п → р))
• Медведев логика конечных проблем (LM, ML): семантически определяется как логика всех кадры формы ${\displaystyle \langle {\mathcal {P}}(X)\setminus \{X\},\subseteq \rangle }$ за конечные множества Икс («Булевы гиперкубы без вершины»), по состоянию на 2015 г.^{[Обновить]} не известно, чтобы быть рекурсивно аксиоматизируемым
• осуществимость логика
• Скотт логика (SL): МПК + ((¬¬п → п) → (п ∨ ¬п)) → (¬¬п ∨ ¬п)
• Логика Сметанича (SmL): МПК + (¬q → п) → (((п → q) → п) → п)
• логики ограниченной мощности (до н.э_п): ${\displaystyle \textstyle \mathbf {IPC} +\bigvee _{i=0}^{n}{\bigl (}\bigwedge _{j<i}p_{j}\to p_{i}{\bigr )}}$
• логика ограниченной ширины, также известная как логика ограниченных антицепей (BW_п, BA_п): ${\displaystyle \textstyle \mathbf {IPC} +\bigvee _{i=0}^{n}{\bigl (}\bigwedge _{j\neq i}p_{j}\to p_{i}{\bigr )}}$
• логики ограниченной глубины (BD_п): МПК + п_п ∨ (п_п → (п_п−1 ∨ (п_п−1 → ... → (п₂ ∨ (п₂ → (п₁ ∨ ¬п₁)))...)))
• логика ограниченной ширины верха (Кстати_п): ${\displaystyle \textstyle \mathbf {IPC} +\bigvee _{i=0}^{n}{\bigl (}\bigwedge _{j<i}p_{j}\to \neg \neg p_{i}{\bigr )}}$
• логика ограниченного ветвления (Т_п, BB_п): ${\displaystyle \textstyle \mathbf {IPC} +\bigwedge _{i=0}^{n}{\bigl (}{\bigl (}p_{i}\to \bigvee _{j\neq i}p_{j}{\bigr )}\to \bigvee _{j\neq i}p_{j}{\bigr )}\to \bigvee _{i=0}^{n}p_{i}}$
• Гёдель п-значная логика (грамм_п): LC + до н.э_п−1 = LC + BD_п−1

Суперинтуиционистские или промежуточные логики образуют полная решетка с интуиционистской логикой как Нижний и непоследовательная логика (в случае суперинтуиционистской логики) или классическая логика (в случае промежуточных логик) в качестве вершины. Классическая логика - единственная Коатом в решетке суперинтуиционистских логик; решетка промежуточных логик также имеет уникальный коатом, а именно SmL.

Инструменты для изучения промежуточной логики аналогичны инструментам, используемым для интуиционистской логики, например: Семантика Крипке. Например, логика Гёделя – Даммета имеет простую семантическую характеристику в терминах общее количество заказов.

Семантика

Учитывая Алгебра Гейтинга ЧАС, набор пропозициональные формулы которые действительны в ЧАС это промежуточная логика. И наоборот, имея промежуточную логику, можно построить ее Алгебра Линденбаума – Тарского, которая в таком случае является алгеброй Гейтинга.

Интуиционистский Рамка Крипке F это частично заказанный набор, и модель Крипке M фрейм Крипке с оценкой такой, что ${\displaystyle \{x\mid M,x\Vdash p\}}$ является верхнее подмножество из F. Набор пропозициональных формул, справедливых в F это промежуточная логика. Учитывая промежуточную логику L можно построить модель Крипке M так что логика M является L (эта конструкция называется каноническая модель). Фрейм Крипке с этим свойством может не существовать, но общая рамка всегда делает.

Отношение к модальной логике

Основная статья: Модальный компаньон

Позволять А быть пропозициональной формулой. В Перевод Гёделя – Тарского из А рекурсивно определяется следующим образом:

• ${\displaystyle T(p_{n})=\Box p_{n}}$
• ${\displaystyle T(\neg A)=\Box \neg T(A)}$
• ${\displaystyle T(A\land B)=T(A)\land T(B)}$
• ${\displaystyle T(A\vee B)=T(A)\vee T(B)}$
• ${\displaystyle T(A\to B)=\Box (T(A)\to T(B))}$

Если M это модальная логика расширение S4 тогда ρM = {А | Т(А) ∈ M} является суперинтуиционистской логикой, и M называется модальный компаньон из ρM. Особенно:

• МПК = ρS4
• KC = ρS4.2
• LC = ρS4.3
• Цена за клик = ρS5

Для каждой промежуточной логики L есть много модальных логик M такой, что L = ρM.

Смотрите также

• Список логических систем

Рекомендации

1. «Промежуточная логика». Энциклопедия математики. Получено 19 августа 2017.
2. Конструктивная логика и решетка Медведева, Себастьян А. Тервейн, Нотр-Дам Дж. Формальная логика, том 47, номер 1 (2006), 73-82.

• Тосио Умедзава. О логике, промежуточной между интуиционистской и классической логикой предикатов. Journal of Symbolic Logic, 24 (2): 141–153, июнь 1959.
• Александр Чагров, Михаил Захарящев. Модальная логика. Издательство Оксфордского университета, 1997.