Алгебра Линденбаума – Тарского - Lindenbaum–Tarski algebra

Не путать с Алгебра Йонссона – Тарского.

В математическая логика, то Алгебра Линденбаума – Тарского (или же Алгебра Линденбаума) из логическая теория Т состоит из классы эквивалентности из фразы теории (т.е. частное, под отношение эквивалентности ~ определен таким образом, что п ~ q именно когда п и q доказуемо эквивалентны в Т). То есть два предложения эквивалентны, если теория Т доказывает, что одно подразумевает другое. Таким образом, алгебра Линденбаума – Тарского является фактор-алгебра полученный факторизацией алгебры формул по этому отношение конгруэнтности.

Алгебра названа в честь логики Адольф Линденбаум и Альфред Тарский. Впервые он был представлен Тарским в 1935 году.[1]как средство установления соответствия между классическими пропозициональное исчисление и Булевы алгебры. Алгебра Линденбаума – Тарского считается источником современного алгебраическая логика.[2]

Операции

Операции в алгебре Линденбаума – Тарского А унаследованы от лежащих в основе теории Т. Они обычно включают соединение и дизъюнкция, которые четко определенный о классах эквивалентности. Когда отрицание также присутствует в Т, тогда А это Булева алгебра при условии, что логика классический. Если теория Т состоит из пропозициональные тавтологии, алгебра Линденбаума – Тарского является свободная булева алгебра генерируется пропозициональные переменные.

Связанные алгебры

Гейтинговые алгебры и внутренние алгебры являются алгебрами Линденбаума – Тарского для интуиционистская логика и модальная логика S4, соответственно.

Логика, для которой применим метод Тарского, называется алгебраизируемый. Однако есть ряд логик, где это не так, например модальные логики S1, S2, или же S3, в которых отсутствует правило необходимости (⊢φ подразумевает ⊢ □ φ), поэтому ~ (определенное выше) не является конгруэнцией (поскольку ⊢φ → ψ не влечет ⊢ □ φ → □ ψ). Другой тип логик, в которых метод Тарского неприменим, - это логика релевантности, потому что для данных двух теорем импликация одной из них может сама по себе не быть теоремой в логике релевантности.[2] Изучение процесса алгебраизации (и понятия) как предмета интереса само по себе, не обязательно с помощью метода Тарского, привело к развитию абстрактная алгебраическая логика.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ А. Тарский (1983). Дж. Коркоран (ред.). Логика, семантика и метаматематика - Статьи с 1923 по 1938 - Пер. J.H. Woodger (2-е изд.). Hackett Pub. Co.
  2. ^ а б В. Дж. Блок, Дон Пигоцци (1989). «Алгебраизируемые логики». Воспоминания АМН. 77 (396).; здесь: страницы 1-2
  • Хинман, П. (2005). Основы математической логики. А. К. Питерс. ISBN  1-56881-262-0.