Оператор Лейбница - Leibniz operator

В абстрактная алгебраическая логика, филиал математическая логика, то Оператор Лейбница инструмент, используемый для классификации дедуктивные системы, которые имеют точное техническое определение и охватывают большое количество логик. Оператор Лейбница был введен Вим Блок и Дон Пигоцци, два из основателей области, как средство абстрагирования хорошо известных Процесс Линденбаума – Тарского, что приводит к ассоциации Булевы алгебры к классическому пропозициональное исчисление, и сделать его применимым к самым разнообразным сентенциальная логика насколько возможно. Это оператор, который присваивает данной теории данной сентенциональной логики, воспринимаемой как свободная алгебра с последующей операцией над ее вселенной, наибольшую соответствие на алгебре, совместимой с теорией.

Формулировка

В этой статье мы вводим оператор Лейбница в частный случай классического исчисления высказываний, затем абстрагируем его до общего понятия, применяемого к произвольной сентенциальной логике, и, наконец, мы суммируем некоторые из наиболее важных следствий его использования в теории. абстрактной алгебраической логики.

Позволять

${displaystyle {mathcal {S}}=langle {m {Fm}},vdash _{mathcal {S}}angle }$

обозначают классическое исчисление высказываний. Согласно классическому процессу Линденбаума – Тарского, при наличии теории${displaystyle T}$ из ${displaystyle {mathcal {S}}}$,если ${displaystyle equiv _{T}}$обозначает бинарное отношение на множестве формул ${displaystyle {mathcal {S}}}$, определяется

${displaystyle phi equiv _{T}psi }$ если и только если ${displaystyle Tvdash _{mathcal {S}}phi leftrightarrow psi ,}$

куда ${displaystyle leftrightarrow }$ обозначает обычную классическую связку пропозициональной эквивалентности, то${displaystyle equiv _{T}}$ оказывается конгруэнтностью на алгебре формул. Кроме того, частное ${displaystyle {m {Fm}}/{equiv _{T}}}$ является булевой алгеброй, и любая булева алгебра может быть сформирована таким образом.

Таким образом, многообразие булевых алгебр, которое, в терминологии алгебраической логики, эквивалентно алгебраическая семантика (алгебраический аналог) классического исчисления высказываний - это класс всех алгебр, образованный подходящими факторами свободные алгебры этими особыми видами конгруэнций.

Условие

${displaystyle Tvdash _{mathcal {S}}phi leftrightarrow psi }$

что определяет ${displaystyle phi equiv _{T}psi }$ эквивалентно условию

${displaystyle Tvdash _{mathcal {S}}phi }$ если и только если ${displaystyle Tvdash _{mathcal {S}}psi }$.

Переходя теперь к произвольной логике предложений

${displaystyle {mathcal {S}}=langle {m {Fm}},vdash _{mathcal {S}}angle ,}$

учитывая теорию ${displaystyle T}$, то Сравнение Лейбница связана с ${displaystyle T}$ обозначается ${displaystyle Omega (T)}$ и определяется для всех${displaystyle phi ,psi in {m {Fm}}}$, к

${displaystyle phi Omega (T)psi }$

тогда и только тогда, когда для каждой формулы ${displaystyle alpha (x,{vec {y}})}$ содержащий переменную ${displaystyle x}$и, возможно, другие переменные в списке ${displaystyle {vec {y}}}$, и все формулы ${displaystyle {vec {chi }}}$ формируя список такой же длины, как у ${displaystyle {vec {y}}}$у нас есть это

${displaystyle Tvdash _{mathcal {S}}alpha (phi ,{vec {chi }})}$

если и только если ${displaystyle Tvdash _{mathcal {S}}alpha (psi ,{vec {chi }})}$.

Оказывается, это бинарное отношение есть отношение конгруэнтности на алгебре формул и, фактически, альтернативно может быть охарактеризован как наибольшее сравнение на алгебре формул, которое совместимо с теорией ${displaystyle T}$, в том смысле, что если ${displaystyle phi Omega (T)psi }$ и ${displaystyle Tvdash _{mathcal {S}}phi }$, то мы должны также иметь ${displaystyle Tvdash _{mathcal {S}}psi }$. Именно это сравнение играет ту же роль, что и сравнение, используемое в традиционном процессе Линденбаума-Тарского, описанном выше в контексте произвольной логики предложений.

Однако для произвольных сентенциальных логик факторные свободных алгебр по этим сравнениям Лейбница по разным теориям дают все алгебры в классе, который образует естественный алгебраический аналог сентенциальной логики. Это явление происходит только в случае «хороших» логик, и одна из основных целей абстрактной алгебраической логики состоит в том, чтобы сделать это расплывчатое понятие «хорошей» логики в этом смысле математически точным.

Оператор Лейбница

${displaystyle Omega }$

оператор, отображающий теорию ${displaystyle T}$ заданной логики с конгруэнцией Лейбница

${displaystyle Omega (T),}$

связано с теорией. Таким образом, формально

${displaystyle Omega :mathrm {Th} ({mathcal {S}})ightarrow {m {Con}}({m {Fm}})}$

отображение из коллекции

${displaystyle {m {Th}}({mathcal {S}})}$ теорий сентенциальной логики

${displaystyle {mathcal {S}}}$ в коллекцию

${displaystyle {m {Con}}({m {Fm}})}$

всех сравнений на алгебре формул ${displaystyle {m {Fm}}}$ сентенциональной логики.

Иерархия

Оператор Лейбница и изучение различных его свойств, которые могут или не могут быть удовлетворены для конкретной сентенциальной логики, привели к тому, что теперь известно как абстрактная алгебраическая иерархия или же Иерархия Лейбница сентенциальной логики. Логика классифицируется по различным уровням этой иерархии в зависимости от того, насколько сильна связь между логикой и ее алгебраическим аналогом.

Свойства оператора Лейбница, которые помогают классифицировать логики, - это монотонность, инъективность, непрерывность и коммутативность с обратными подстановками. Например, протоалгебраический логики, образующие самый широкий класс в иерархии, т. е. тот, который находится внизу иерархии и содержит все другие классы, характеризуются монотонностью оператора Лейбница в своих теориях. Другие известные классы образуются эквивалентный логика, слабо алгебраизируемый логики и алгебраизируемой логики, среди прочего.

Существует обобщение оператора Лейбница в контексте категориальной абстрактной алгебраической логики, которое позволяет применять широкий спектр методов, которые ранее применялись только в рамках сентенциальной логики, к логикам, формализованным как ${displaystyle pi }$-учреждения. ${displaystyle pi }$-институциональная структура значительно шире, чем структура сентенциальной логики, поскольку она позволяет включать в язык несколько сигнатур и квантификаторов и обеспечивает механизм для обработки логики, которая не основана на синтаксисе.

Рекомендации

• Д. Пигоцци (2001). «Абстрактная алгебраическая логика». В М. Хазевинкель (ред.). Энциклопедия математики: Приложение III.. Springer. С. 2–13. ISBN  1-4020-0198-3.
• Шрифт, Дж. М., Янсана, Р., Пигоцци, Д., (2003), Обзор абстрактной алгебраической логики, Studia Logica 74: 13–79.
• Януш Челаковски (2001). Протоалгебраические логики. Springer. ISBN  978-0-7923-6940-0.

внешняя ссылка

• «Алгебраическая логика высказываний» запись Рамона Янсаны в Стэнфордская энциклопедия философии