Гипотеза Якобсона - Jacobsons conjecture - Wikipedia

В абстрактная алгебра, Гипотеза Якобсона это открытая проблема в теория колец о пересечении полномочий Радикал Якобсона из Кольцо Нётериана.

Пока это было доказано только для особых типов колец Нётерана. Существуют примеры, показывающие, что эта гипотеза может быть неверной, если кольцо не является нётеровым со стороны, поэтому абсолютно необходимо, чтобы кольцо было двусторонним нётеровым.

Гипотеза названа в честь алгебраиста Натан Джейкобсон кто выдвинул первую версию гипотезы.

Заявление

Для кольца р с радикалом Якобсона Jнеотрицательные силы ${\displaystyle J^{n}}$ определяются с помощью продукт идеалов.

Гипотеза Якобсона: В правом и левом Кольцо Нётериана, ${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }J^{n}=\{0\}.}$

Другими словами: «Единственный элемент нётерского кольца во всех степенях J равно 0. "

Первоначальная гипотеза, высказанная Якобсоном в 1956 г.^[1] спросил о некоммутативных односторонних нётеровых кольцах, однако Израиль Натан Херштейн произвел контрпример в 1965 г.,^[2] и вскоре после этого Арун Винаяк Джатегаонкар привел другой пример, главная идеальная область.^[3] С этого момента гипотеза была переформулирована и потребовала двусторонних нётеровых колец.

Частичные результаты

Гипотеза Джекобсона была проверена для конкретных типов нётеровых колец:

• Коммутативный Все нётеровы кольца удовлетворяют гипотезе Якобсона. Это следствие Теорема Крулля о пересечении.
• Полностью ограниченные нётеровы кольца^[4][5]
• Кольца Нётерана с Измерение Крулля 1^[6]
• Кольца Нётер, удовлетворяющие состояние второго слоя^[7]

Рекомендации

1. Джейкобсон, Натан (1956), Структура колец, Американское математическое общество, Публикации коллоквиума, т. 37, 190 Hope Street, Providence, R.I .: Американское математическое общество, п. 200, МИСТЕР  0081264. Как цитирует Браун, К. А .; Ленаган, Т. Х. (1982), "Заметка о гипотезе Джекобсона для нётеровых справа колец", Математический журнал Глазго, 23 (1): 7–8, Дои:10.1017 / S0017089500004729, МИСТЕР  0641612.
2. Херштейн 1965.
3. Jategaonkar 1968.
4. Кошон 1974.
5. Jategaonkar 1974.
6. Ленаган 1977.
7. Jategaonkar 1982.

Источники

• Кошон, Жерар (1974), "Sur l'intersection des puissances du radicles d'un T-anneau noethérien", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A (На французском), 279: 91–93, МИСТЕР  0347894
• Goodearl, K. R .; Варфилд, Р. Б., младший (2004 г.), Введение в некоммутативные нётеровы кольца, Студенческие тексты Лондонского математического общества, 61 (2-е изд.), Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. Xxiv + 344, ISBN  0-521-54537-4, МИСТЕР  2080008
• Герштейн, И. (1965), "Контрпример в нётеровых кольцах", Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 54: 1036–1037, Дои:10.1073 / pnas.54.4.1036, ISSN  0027-8424, МИСТЕР  0188253, ЧВК  219788, PMID  16578617
• Джатегаонкар, Арун Винаяк (1968), "Области левого главного идеала", J. Алгебра, 8: 148–155, Дои:10.1016/0021-8693(68)90040-9, ISSN  0021-8693, МИСТЕР  0218387
• Яатегаонкар, Арун Винаяк (1974), "Гипотеза Джекобсона и модули над вполне ограниченными нётеровыми кольцами", J. Алгебра, 30: 103–121, Дои:10.1016/0021-8693(74)90195-1, ISSN  0021-8693, МИСТЕР  0352170
• Яатегаонкар, Арун Винаяк (1982), "Разрешаемые алгебры Ли, почти полициклические группы и бимодульная размерность Крулля", Comm. Алгебра, 10 (1): 19–69, Дои:10.1080/00927878208822700, ISSN  0092-7872, МИСТЕР  0674687
• Ленаган, Т. Х. (1977), "Нётеровы кольца с размерностью один Крулля", J. London Math. Soc., Серия 2, 15 (1): 41–47, ISSN  0024-6107, МИСТЕР  0442008
• Роуэн, Луи Х. (1988), Теория колец. Vol. я, Чистая и прикладная математика, 127, Бостон, Массачусетс: Academic Press Inc., стр. Xxiv + 538, ISBN  0-12-599841-4, МИСТЕР  0940245