Теорема Юнга - Jungs theorem - Wikipedia

В геометрия, Теорема Юнга является неравенство между диаметр набора точек в любом Евклидово пространство и радиус минимальный закрывающий мяч из этого набора. Он назван в честь Генрих Юнг, который впервые изучил это неравенство в 1901 году. Существуют также алгоритмы для решения задача наименьшего круга явно.

Заявление

Рассмотрим компактный набор

${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$

и разреши

${\displaystyle d=\max _{p,q\,\in \,K}\|p-q\|_{2}}$

быть диаметр из K, то есть наибольший Евклидово расстояние между любыми двумя его точками. Теорема Юнга утверждает, что существует закрытый мяч с радиус

${\displaystyle r\leq d{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)}}}}$

который содержит K. Граничный случай равенства достигается регулярным п-симплекс.

Теорема Юнга на плоскости

Чаще всего встречается теорема Юнга в самолет, то есть п = 2. В этом случае теорема утверждает, что существует окружность, охватывающая все точки, радиус которых удовлетворяет условию

${\displaystyle r\leq {\frac {d}{\sqrt {3}}}.}$

Нет более жестких ограничений р может быть показано: когда K равносторонний треугольник (или его три вершины), то

${\displaystyle r={\frac {d}{\sqrt {3}}}.}$

Общие метрические пространства

Для любого ограниченного множества S в любом метрическое пространство, d/2 ≤ р ≤ d. Первое неравенство следует из неравенство треугольника для центра шара и двух диаметральных точек, а второе неравенство следует из того, что шар радиуса d с центром в любой точке S будет содержать все S. В равномерное метрическое пространство, то есть пространство, в котором все расстояния равны, р = d. На другом конце спектра в инъективное метрическое пространство такой как Манхэттенское расстояние в плоскости, р = d/ 2: любые два замкнутых шара радиуса d/ 2 с центром в точках S имеют непустое пересечение, поэтому все такие шары имеют общее пересечение и радиус d/ 2 шар с центром в точке этого пересечения содержит все S. Версии теоремы Юнга для различных неевклидовы геометрии также известны (см., например, Dekster 1995, 1997).

Рекомендации

• Кац, М. (1985). «Теорема Юнга в комплексной проективной геометрии». Кварта. J. Math. Оксфорд. 36 (4): 451–466. Дои:10.1093 / qmath / 36.4.451.
• Декстер, Б. В. (1995). «Теорема Юнга для сферического и гиперболического пространств». Acta Math. Hungar. 67 (4): 315–331. Дои:10.1007 / BF01874495.
• Декстер, Б. В. (1997). «Теорема Юнга в метрических пространствах ограниченной сверху кривизны». Труды Американского математического общества. 125 (8): 2425–2433. Дои:10.1090 / S0002-9939-97-03842-2.
• Юнг, Генрих (1901). "Über die kleinste Kugel, die eine räumliche Figur einschließt". J. Reine Angew. Математика. (на немецком). 123: 241–257.
• Юнг, Генрих (1910). "Über den kleinsten Kreis, der eine ebene Figur einschließt". J. Reine Angew. Математика. (на немецком). 137: 310–313.
• Радемахер, Ганс; Теплиц, Отто (1990). Удовольствие от математики. Дувр. Глава 16. ISBN  978-0-486-26242-0.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Юнга». MathWorld.