Функция Келлена - Källén function

В Функция Келлена, также известный как функция треугольника, является полиномиальной функцией от трех переменных, которая встречается в геометрии и физике элементарных частиц. В последнем поле обычно обозначается символом ${\displaystyle \lambda }$. Он назван в честь физика-теоретика. Гуннар Келлен, который представил это как сокращенное в своем учебнике Физика элементарных частиц.^[1]

Определение

Функция задается квадратичным многочленом от трех переменных

${\displaystyle \lambda (x,y,z)\equiv x^{2}+y^{2}+z^{2}-2xy-2yz-2zx.}$

Приложения

В геометрии функция описывает площадь ${\displaystyle A}$ треугольника с длинами сторон ${\displaystyle a,b,c}$:

${\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {-\lambda (a^{2},b^{2},c^{2})}}.}$

Смотрите также Формула Герона.

Функция естественно появляется в Кинематика из релятивистский частицы, например при выражении компонентов энергии и импульса в системе отсчета центра масс через Переменные Мандельштама.^[2]

Характеристики

Функция (очевидно) симметрична в перестановках своих аргументов, а также не зависит от обычного изменения знака аргументов:

${\displaystyle \lambda (-x,-y,-z)=\lambda (x,y,z).}$

Если ${\displaystyle y,z>0}$ многочлен делится на два множителя

${\displaystyle \lambda (x,y,z)=(x-({\sqrt {y}}+{\sqrt {z}})^{2})(x-({\sqrt {y}}-{\sqrt {z}})^{2}).}$

Если ${\displaystyle x,y,z>0}$ многочлен делится на четыре фактора

${\displaystyle \lambda (x,y,z)=-({\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}+{\sqrt {z}})(-{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}+{\sqrt {z}})({\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}+{\sqrt {z}})({\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}-{\sqrt {z}}).}$

Его наиболее сжатая форма -

${\displaystyle \lambda (x,y,z)=(x-y-z)^{2}-4yz.}$

Интересными частными случаями являются^{[2]:экв. (II.6.8–9)}

${\displaystyle \lambda (x,y,y)=x(x-4y)\,,}$

${\displaystyle \lambda (x,y,0)=(x-y)^{2}\,.}$

Рекомендации

1. Г. Кэллен, Физика элементарных частиц, (Эддисон-Уэсли, 1964)
2. Э. Биклинг, К. Каянтие, Кинематика частиц, (John Wiley & Sons Ltd, 1973)