Неравенство канторовича - Kantorovich inequality

В математика, то Неравенство канторовича частный случай Неравенство Коши – Шварца, что само по себе является обобщением неравенство треугольника.

Неравенство треугольника гласит, что длина двух сторон любого треугольника, сложенная вместе, будет равна или больше длины третьей стороны. Проще говоря, неравенство Канторовича переводит основную идею неравенства треугольника в термины и условные обозначения линейное программирование. (Видеть векторное пространство, внутренний продукт, и нормированное векторное пространство для других примеров того, как основные идеи, присущие неравенству треугольника - отрезок прямой и расстояние - могут быть обобщены в более широком контексте.)

Более формально неравенство Канторовича можно выразить так:

Позволять

${\displaystyle p_{i}\geq 0,\quad 0<a\leq x_{i}\leq b{\text{ for }}i=1,\dots ,n.}$

Позволять ${\displaystyle A_{n}=\{1,2,\dots ,n\}.}$

потом

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\qquad \left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{x_{i}}}\right)\\&\leq {\frac {(a+b)^{2}}{4ab}}\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}\right)^{2}-{\frac {(a-b)^{2}}{4ab}}\cdot \min \left\{\left(\sum _{i\in X}p_{i}-\sum _{j\in Y}p_{j}\right)^{2}\,:\,{X\cup Y=A_{n}},{X\cap Y=\varnothing }\right\}.\end{aligned}}}$

Неравенство Канторовича используется в анализ сходимости; он ограничивает скорость сходимости крутой спуск.

Эквиваленты неравенства Канторовича возникли в целом ряде различных областей. Например, Неравенство Коши – Шварца – Буняковского. и Неравенство Виландта эквивалентны неравенству Канторовича, и все они, в свою очередь, являются частными случаями Неравенство Гёльдера.

Неравенство Канторовича названо в честь советского экономиста, математика и Нобелевская премия победитель Леонид Канторович, пионер в области линейное программирование.

Существует также матричная версия неравенства Кантровича Маршалла и Олкина.

Рекомендации

• Вайсштейн, Эрик В. «Неравенство Канторовича». MathWorld.
• Неравенство Коши-Шварца в PlanetMath.
• Статья в глоссарии математического программирования "неравенство Канторовича"
• МАРШАЛЛ А. В., ОЛКИН И. Матричные версии неравенств Коши и Канторовича. Aequationes Mathematicae 40 (1990), стр. 89–93.

внешняя ссылка

• Биография Леонида Витальевича Канторовича