Маятник Капица - Kapitzas pendulum - Wikipedia

Чертеж, показывающий, как может быть построен маятник Капицы: двигатель вращает кривошип с высокой скоростью, кривошипно вибрирует рычаг вверх и вниз, к которому маятник прикреплен с помощью оси.

Маятник капицы или же Маятник Капицы жесткий маятник в котором точка поворота колеблется в вертикальном направлении вверх и вниз. Назван в честь русского Нобелевский лауреат физик Петр Капица, который в 1951 году разработал теорию, успешно объясняющую некоторые из его необычных свойств.^[1] Уникальная особенность маятника Капицы заключается в том, что вибрирующая подвеска может заставить его стабильно балансировать в перевернутая позиция, с бобом над точкой подвеса. В обычном маятник при фиксированной подвеске единственное устойчивое положение равновесия - это то, что боб висит ниже точки подвески; перевернутое положение - точка неустойчивое равновесие, а малейшее возмущение выводит маятник из состояния равновесия. В нелинейная теория управления маятник Капицы используется как пример параметрический генератор что демонстрирует концепцию «динамической стабилизации».

Маятник был впервые описан А. Стефенсоном в 1908 году, который обнаружил, что верхнее вертикальное положение маятника может быть стабильным при высокой частоте движения.^[2] Однако до 1950-х годов этому в высшей степени необычному и противоречивому явлению не существовало объяснения. Петр Капица первым проанализировал ее в 1951 году.^[1] Он провел ряд экспериментальных исследований, а также дал аналитическое представление о причинах устойчивости, разделив движение на «быстрые» и «медленные» переменные и введя эффективный потенциал. Эта новаторская работа создала новый предмет в физике - вибрационная механика. Метод Капицы используется для описания периодических процессов в атомная физика, физика плазмы и кибернетическая физика. Эффективный потенциал, описывающий «медленную» составляющую движения, описан в томе «Механика» (§30). Ландо с Курс теоретической физики.^[3]

Еще одна интересная особенность маятниковой системы Капицы заключается в том, что нижнее положение равновесия, когда маятник свешивается ниже оси вращения, больше не является устойчивым. Любое крошечное отклонение от вертикали со временем увеличивается по амплитуде.^[4] Параметрический резонанс также может встречаться в этой позиции, и хаотические режимы могут быть реализованы в системе, когда странные аттракторы присутствуют в Раздел Пуанкаре.^{[нужна цитата ]}

Обозначение

Схема маятника Капицы

Обозначим вертикальную ось как ${\displaystyle y}$ а горизонтальная ось как ${\displaystyle x}$ так что движение маятника происходит в (${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$) самолет. Будем использоваться следующие обозначения

• ${\displaystyle \nu }$- частота вертикальных колебаний подвески,
• ${\displaystyle a}$ - амплитуда колебаний подвески,
• ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {g/l}}}$ - собственная частота математического маятника,
• ${\displaystyle g}$ - ускорение свободного падения,
• ${\displaystyle l}$ - длина жесткого и легкого маятника,
• ${\displaystyle m}$ - масса.

Обозначая угол между маятником и направлением вниз как ${\displaystyle \varphi }$ зависимость положения маятника от времени записывается как

${\displaystyle {\begin{cases}x&=l\sin \varphi \\y&=-l\cos \varphi -a\cos \nu t\end{cases}}}$

Энергия

В потенциальная энергия маятника возникает под действием силы тяжести и определяется вертикальным положением как

${\displaystyle E_{\mathrm {POT} }=-mg(l\cos \varphi +a\cos \nu t).\,}$

В кинетическая энергия в дополнение к стандартному сроку ${\displaystyle E_{\mathrm {KIN} }=ml^{2}{\dot {\varphi }}^{2}/2}$, описывающая скорость математического маятника, есть вклад от колебаний подвески

${\displaystyle E_{\mathrm {KIN} }={\frac {ml^{2}}{2}}{\dot {\varphi }}^{2}+mal\nu ~\sin(\nu t)\sin(\varphi )~{\dot {\varphi }}+{\frac {ma^{2}\nu ^{2}}{2}}\sin ^{2}(\nu t)\;.}$

Полная энергия определяется суммой кинетической и потенциальной энергий. ${\displaystyle E=E_{\mathrm {KIN} }+E_{\mathrm {POT} }}$ и Лагранжиан по их разнице ${\displaystyle L=E_{\mathrm {KIN} }-E_{\mathrm {POT} }}$.

Полная энергия сохраняется в математическом маятнике, поэтому время ${\displaystyle t}$ зависимость потенциала ${\displaystyle E_{\mathrm {POT} }}$ и кинетический ${\displaystyle E_{\mathrm {KIN} }}$ энергия симметрична относительно горизонтальной линии. Согласно теорема вириала средняя кинетическая и потенциальная энергии в гармоническом осцилляторе равны. Это означает, что линия симметрии соответствует половине полной энергии.

В случае вибрационной подвески система больше не является закрытый и полная энергия больше не сохраняется. Кинетическая энергия более чувствительна к вибрации по сравнению с потенциальной. Потенциальная энергия ${\displaystyle E_{\mathrm {POT} }=mgy}$ связана снизу и сверху ${\displaystyle -mg(l+a)<E_{\mathrm {POT} }<mg(l+a)}$ а кинетическая энергия связана только снизу ${\displaystyle E_{\mathrm {KIN} }\geq 0}$. Для высокой частоты колебаний ${\displaystyle \nu }$ кинетическая энергия может быть большой по сравнению с потенциальной энергией.

Уравнения движения

Движение маятника удовлетворяет Уравнения Эйлера – Лагранжа.. Зависимость фазы ${\displaystyle \varphi }$ положения маятника удовлетворяет уравнению:^[5]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \varphi }},}$

где лагранжиан ${\displaystyle L}$ читает

${\displaystyle L={\frac {ml^{2}}{2}}{\dot {\varphi }}^{2}+ml(g+a~\nu ^{2}\cos \nu t)\cos \varphi ,}$

с точностью до нерелевантных общих производных по времени. Дифференциальное уравнение

${\displaystyle {\ddot {\varphi }}=-(g+a~\nu ^{2}\cos \nu t){\frac {\sin \varphi }{l}},}$

описывающая движение маятника, нелинейна из-за ${\displaystyle \sin \varphi }$ фактор.

Положения равновесия

Модель маятника Капицы носит более общий характер, чем простой маятник. Модель Капицы сводится к последнему в пределе ${\displaystyle a=0}$. В этом пределе вершина маятника описывает круг: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=l^{2}={\text{constant}}}$. Если энергия в начальный момент больше максимума потенциальной энергии ${\displaystyle E>mgl}$ тогда траектория будет замкнутой и циклической. Если начальная энергия меньше ${\displaystyle E<mgl}$ тогда маятник будет колебаться вблизи единственной устойчивой точки ${\displaystyle (x,y)=(0,-l)}$.

Когда подвеска вибрирует с небольшой амплитудой ${\displaystyle a\ll l}$ и с частотой ${\displaystyle \nu \gg \omega _{0}}$ намного выше правильной частоты ${\displaystyle \omega _{0}}$, угол ${\displaystyle \varphi }$ можно рассматривать как суперпозицию ${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+\xi }$ «медленного» компонента ${\displaystyle \varphi _{0}}$ и быстрое колебание ${\displaystyle \xi }$ с небольшой амплитудой из-за небольших, но быстрых колебаний подвески. Технически мы выполняем пертурбативный расширение в "константы связи " ${\displaystyle (a/l),(\omega _{0}/\nu )\ll 1}$ при обработке соотношения ${\displaystyle (a/l)(\nu /\omega _{0})}$ как исправлено. Пертурбативная трактовка становится точной в предел двойного масштабирования ${\displaystyle a\to 0,\nu \to \infty }$. Точнее, быстрое колебание ${\displaystyle \xi }$ определяется как

${\displaystyle \xi ={\frac {a}{l}}\sin \varphi _{0}~\cos \nu t.\,}$

Уравнение движения для «медленной» составляющей. ${\displaystyle \varphi _{0}}$ становится

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\varphi }}_{0}={\ddot {\varphi }}-{\ddot {\xi }}&=-(g+a~\nu ^{2}\cos \nu t){\frac {\sin \varphi }{l}}\\&{}\quad {}-{\frac {a}{l}}\left({\ddot {\varphi }}_{0}\cos \varphi _{0}~\cos \nu t-{\dot {\varphi }}_{0}^{2}\sin \varphi _{0}~\cos \nu t-2\nu {\dot {\varphi }}_{0}\cos \varphi _{0}~\sin \nu t-\nu ^{2}\sin \varphi _{0}~\cos \nu t\right)\\[8pt]&=-{\frac {g}{l}}\sin \varphi _{0}-(g+a~\nu ^{2}\cos \nu t){\frac {1}{l}}\left(\xi \cos \varphi _{0}+O(\xi ^{2})\right)\\&{}\quad {}-{\frac {a}{l}}\left({\ddot {\varphi }}_{0}\cos \varphi _{0}~\cos \nu t-{\dot {\varphi }}_{0}^{2}\sin \varphi _{0}~\cos \nu t-2\nu {\dot {\varphi }}_{0}\cos \varphi _{0}~\sin \nu t\right).\end{aligned}}}$

Усреднение по порогу ${\displaystyle \nu }$-колебания уступает ведущему порядку

${\displaystyle {\ddot {\varphi }}_{0}=-{\frac {g}{l}}\sin \varphi _{0}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {a\nu }{l}}\right)^{2}\sin \varphi _{0}\cos \varphi _{0}.}$

«Медленное» уравнение движения становится

${\displaystyle ml^{2}{\ddot {\varphi }}_{0}=-{\frac {\partial V_{\mathrm {eff} }}{\partial \varphi _{0}}}\;,}$

путем введения эффективный потенциал

${\displaystyle V_{\mathrm {eff} }=-mgl\cos \varphi _{0}+m\left({\frac {a\nu }{2}}\sin \varphi _{0}\right)^{2}.}$

Оказывается^[1] что эффективный потенциал ${\displaystyle V_{\mathrm {eff} }}$ имеет два минимума, если ${\displaystyle (a\nu )^{2}>2gl}$, или эквивалентно, ${\displaystyle (a/l)(\nu /\omega _{0})>{\sqrt {2}}}$. Первый минимум находится в том же положении ${\displaystyle (x,y)=(0,-l)}$ поскольку математический маятник и другой минимум находятся в верхнем вертикальном положении ${\displaystyle (x,y)=(0,l)}$. В результате верхнее вертикальное положение, неустойчивое в математическом маятнике, может стать устойчивым в маятнике Капицы.

Вращающиеся решения

Вращающиеся решения маятника Капицы возникают, когда маятник вращается вокруг точки поворота с той же частотой, что и точка поворота. Есть два решения для вращения, по одному для вращения в каждом направлении. Мы переходим к вращающейся системе отсчета, используя ${\displaystyle \varphi \rightarrow \varphi ^{\prime }\pm \nu t}$ и уравнение для ${\displaystyle \varphi }$ становится:

${\displaystyle {\ddot {\varphi }}^{\prime }=-{\frac {1}{l}}\left[{\frac {1}{2}}a\nu ^{2}\sin(\varphi ^{\prime })+g\sin(\varphi ^{\prime }\pm \nu t)+{\frac {1}{2}}a\nu ^{2}\sin(\varphi ^{\prime }\pm 2\nu t)\right]\;.}$

Снова учитывая предел, в котором ${\displaystyle \nu }$ намного выше правильной частоты ${\displaystyle \omega _{0}}$, мы находим, что быстрое-${\displaystyle \nu }$ медленный-${\displaystyle \varphi _{0}^{\prime }}$ предел приводит к уравнению:

${\displaystyle {\ddot {\varphi }}_{0}^{\prime }=-{\frac {1}{2l}}a\nu ^{2}\sin \varphi _{0}^{\prime }\;.}$

Эффективный потенциал - это просто уравнение маятника. Имеется устойчивое равновесие при ${\displaystyle \varphi _{0}^{\prime }=0}$ и неустойчивое равновесие при ${\displaystyle \varphi _{0}^{\prime }=\pi }$.

Фазовый портрет

Интересные фазовые портреты могут быть получены в режимах, недоступных в рамках аналитического описания, например, в случае большой амплитуды подвеса. ${\displaystyle a\approx l}$.^[6][7] Увеличение амплитуды движущих колебаний до половины длины маятника ${\displaystyle a=l/2}$ приводит к фазовому портрету, изображенному на рисунке.^{[требуется разъяснение ]}

Дальнейшее увеличение амплитуды до ${\displaystyle a\approx l}$ приводит к полному заполнению внутренних точек фазового пространства: если раньше некоторые точки фазового пространства были недоступны, то теперь система может достичь любой из внутренних точек. Эта ситуация верна и для больших значений ${\displaystyle a}$.

Интересные факты

• Капица отметил, что маятниковые часы Подвеска с колеблющимся маятником всегда идет быстрее, чем часы с неподвижным подвесом.^[8]
• Ходьба определяется походкой «перевернутый маятник», при которой тело перепрыгивает через жесткую конечность или конечности при каждом шаге. Повышенная устойчивость при ходьбе может быть связана с устойчивостью маятника Капицы. Это применимо независимо от количества конечностей - даже у членистоногих с шестью, восемью или более конечностями.^{[нужна цитата ]}

Литература

1. Капица П. Л. (1951). «Динамическая устойчивость маятника при колебании его точки подвеса». Советская физ. ЖЭТФ. 21: 588–597.; Капица П. Л. (1951). «Маятник с колеблющимся подвесом». Усп. Физ. Наук. 44: 7–15.
2. Стивенсон Эндрю (1908). «XX.О индуцированной устойчивости» (PDF). Философский журнал. 6. 15: 233–236. Дои:10.1080/14786440809463763.
3. Л. Д. Ландау, Э. М. Лифшиц (1960). Механика. Vol. 1 (1-е изд.). Pergamon Press. КАК В  B0006AWV88.
4. Бутиков Е. И. «Маятник с осциллирующим подвесом (к 60-летию маятника Капицы»), учебное пособие.
5. Крайнов В.П. (2002). Избранные математические методы теоретической физики (1-е изд.). Тейлор и Фрэнсис. ISBN  978-0-415-27234-6.
6. Астрахарчик Г.Е., Астрахарчик Н.А. «Численное исследование маятника Капицы». arXiv:1103.5981 (2011)
7. Движение маятника Капицы во времени можно смоделировать в онлайн-апплетах java на следующих сайтах:
   • «Архивная копия». Архивировано из оригинал на 2011-10-01. Получено 2011-04-08.
   • Можно использовать произвольные параметры системы, их можно вставить вручную
8. Бутиков, Евгений И. «Маятник Капицы: физически прозрачное простое объяснение» (PDF). п. 8. Получено 1 сентября, 2020.

внешняя ссылка

• Демонстрационное видео на Маятник Капицы - YouTube
• Интерактивная демонстрация в Вольфрам Демонстрационный проект