Оценка плотности ядра - Kernel density estimation

Для более широкого освещения этой темы см. Оценка ядра.

Оценка плотности ядра 100 нормально распределенный случайные числа используя разную ширину полосы сглаживания.

В статистика, оценка плотности ядра (KDE) это непараметрический путь к оценивать в функция плотности вероятности из случайная переменная. Оценка плотности ядра является фундаментальной проблемой сглаживания данных, при которой выводы о численность населения сделаны, исходя из конечных данных образец. В некоторых областях, таких как обработка сигналов и эконометрика это также называется Окно Парзена – Розенблатта метод, после Эмануэль Парзен и Мюррей Розенблатт, которым обычно приписывают самостоятельное создание в нынешнем виде.^[1][2] Одно из самых известных приложений оценки плотности ядра - это оценка предельной плотности данных по классу при использовании наивный байесовский классификатор,^[3][4] что может повысить точность прогнозов.^[3]

Определение

Позволять (Икс₁, Икс₂, …, Икс_п) быть одномерным независимые и одинаково распределенные образец взят из некоторого распределения с неизвестным плотность ƒ в любой момент Икс. Нас интересует оценка формы этой функции ƒ. Его оценщик плотности ядра является

${\displaystyle {\widehat {f}}_{h}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}K_{h}(x-x_{i})={\frac {1}{nh}}\sum _{i=1}^{n}K{\Big (}{\frac {x-x_{i}}{h}}{\Big )},}$

куда K это ядро - неотрицательная функция - и час > 0 это сглаживание параметр, называемый пропускная способность. Ядро с индексом час называется масштабированное ядро и определяется как K_час(Икс) = 1/ч К(Икс/час). Интуитивно хочется выбрать час настолько мал, насколько позволяют данные; однако всегда существует компромисс между смещением оценки и ее дисперсией. Более подробно выбор полосы пропускания обсуждается ниже.

Диапазон функции ядра Обычно используются: форменные, треугольные, двухвесовые, трехвесовые, эпанечниковые, нормальные и другие. Ядро Епанечникова оптимально в смысле среднеквадратичной ошибки,^[5] хотя для перечисленных выше ядер потеря эффективности невелика.^[6] Из-за удобных математических свойств часто используется обычное ядро, что означает K(Икс) = ϕ(Икс), куда ϕ это стандартный нормальный функция плотности.

Построение ядерной оценки плотности находит интерпретацию в областях, не связанных с оценкой плотности.^[7] Например, в термодинамика, это эквивалентно количеству тепла, выделяемого при нагревать ядра (фундаментальное решение уравнение теплопроводности ) размещаются в местах расположения каждой точки данных Икс_я. Подобные методы используются для построения дискретные операторы Лапласа на облаках точек для многообразное обучение (например. карта диффузии ).

Пример

Оценки плотности ядра тесно связаны с гистограммы, но может быть наделен такими свойствами, как гладкость или непрерывность, с помощью подходящего ядра. Пример с использованием 6 точек данных иллюстрирует эту разницу между оценками плотности гистограммы и ядра:

Образец	1	2	3	4	5	6
Ценить	-2.1	-1.3	-0.4	1.9	5.1	6.2

Для гистограммы сначала горизонтальная ось делится на подинтервалы или интервалы, которые покрывают диапазон данных: в этом случае шесть интервалов шириной 2. Каждый раз, когда точка данных попадает в этот интервал, появляется прямоугольник высотой 1 / 12 находится там. Если в один и тот же лоток попадает более одной точки данных, блоки складываются друг на друга.

Для оценки плотности ядра нормальное ядро ​​со стандартным отклонением 2,25 (обозначено красными пунктирными линиями) помещается в каждую из точек данных. Икс_я. Ядра суммируются для получения оценки плотности ядра (сплошная синяя кривая). Гладкость оценки плотности ядра (по сравнению с дискретностью гистограммы) показывает, как оценки плотности ядра быстрее сходятся к истинной базовой плотности для непрерывных случайных величин.^[8]

Сравнение гистограммы (слева) и оценки плотности ядра (справа), построенной с использованием тех же данных. Шесть отдельных ядер представляют собой красные пунктирные кривые, оценка плотности ядра - синие кривые. Точки данных - это график на горизонтальной оси.

Выбор полосы пропускания

Оценка плотности ядра (KDE) с разной пропускной способностью случайной выборки из 100 точек стандартного нормального распределения. Серый: истинная плотность (стандартная нормальная). Красный: KDE с h = 0,05. Черный: KDE с h = 0,337. Зеленый: KDE с h = 2.

Пропускная способность ядра равна свободный параметр что оказывает сильное влияние на итоговую оценку. Чтобы проиллюстрировать его эффект, мы возьмем смоделированный случайный пример из стандарта нормальное распределение (нанесено на синие шипы в коврик сюжет по горизонтальной оси). Серая кривая - истинная плотность (нормальная плотность со средним значением 0 и дисперсией 1). Для сравнения, красная кривая несглаженный поскольку он содержит слишком много ложных артефактов данных, возникающих из-за использования полосы пропускания час = 0,05, что слишком мало. Зеленая кривая чрезмерно сглаженный так как использование полосы пропускания час = 2 скрывает большую часть базовой структуры. Черная кривая с полосой пропускания час = 0,337 считается оптимально сглаженным, так как его оценка плотности близка к истинной плотности. В пределе встречается экстремальная ситуация. ${\displaystyle h\to 0}$ (без сглаживания), где оценка представляет собой сумму п дельта-функции с центром в координатах анализируемых образцов. В другом крайнем пределе ${\displaystyle h\to \infty }$ оценка сохраняет форму используемого ядра, центрированную по среднему значению выборок (полностью гладкая).

Наиболее распространенным критерием оптимальности, используемым для выбора этого параметра, является ожидаемая L₂ функция риска, также называемый среднеквадратичная ошибка:

${\displaystyle \operatorname {MISE} (h)=\operatorname {E} \!\left[\,\int ({\hat {f}}_{h}(x)-f(x))^{2}\,dx\right].}$

При слабых предположениях о ƒ и K, (ƒ - обычно неизвестная реальная функция плотности),^[1][2]MISE (час) = AMISE (час) + о (1 / (nh) + h⁴) куда о это небольшое обозначение. AMISE - это асимптотическая MISE, которая состоит из двух ведущих терминов.

${\displaystyle \operatorname {AMISE} (h)={\frac {R(K)}{nh}}+{\frac {1}{4}}m_{2}(K)^{2}h^{4}R(f'')}$

куда ${\displaystyle R(g)=\int g(x)^{2}\,dx}$ для функции грамм, ${\displaystyle m_{2}(K)=\int x^{2}K(x)\,dx}$и ƒ '' - вторая производная от ƒ. Минимум этого AMISE является решением этого дифференциального уравнения

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial h}}\operatorname {AMISE} (h)=-{\frac {R(K)}{nh^{2}}}+m_{2}(K)^{2}h^{3}R(f'')=0}$

или же

${\displaystyle h_{\operatorname {AMISE} }={\frac {R(K)^{1/5}}{m_{2}(K)^{2/5}R(f'')^{1/5}n^{1/5}}}.}$

Ни AMISE, ни час_AMISE формулы могут использоваться напрямую, поскольку они включают неизвестную функцию плотности ƒ или его вторая производная ƒ '', поэтому для выбора полосы пропускания было разработано множество автоматических методов на основе данных. Было проведено множество обзорных исследований для сравнения их эффективности,^{[9][10][11][12][13][14][15]} по общему мнению, селекторы подключаемых модулей^[7][16][17] и перекрестная проверка селекторы^[18][19][20] являются наиболее полезными для широкого диапазона наборов данных.

Подмена любой пропускной способности час который имеет тот же асимптотический порядок п^−1/5 в качестве час_AMISE в AMISE дает, что AMISE (час) = О(п^−4/5), куда О это большая нотация. Можно показать, что при слабых предположениях не может существовать непараметрическая оценка, которая сходится с большей скоростью, чем ядерная оценка.^[21] Обратите внимание, что п^−4/5 скорость ниже, чем обычно п⁻¹ скорость сходимости параметрических методов.

Если полоса пропускания не удерживается фиксированной, а изменяется в зависимости от местоположения либо оценки (баллонная оценка), либо выборок (точечная оценка), это дает особенно мощный метод, называемый оценка плотности ядра адаптивной или переменной полосы пропускания.

Выбор полосы пропускания для оценки плотности ядра распределений с тяжелым хвостом является относительно трудным.^[22]

Оценка пропускной способности на основе практического опыта

Если для аппроксимации используются базисные функции Гаусса одномерный данных, а оцениваемая плотность - гауссова, оптимальный выбор для час (то есть полоса пропускания, которая минимизирует среднеквадратичная ошибка ) является:^[23]

${\displaystyle h=\left({\frac {4{\hat {\sigma }}^{5}}{3n}}\right)^{\frac {1}{5}}\approx 1.06\,{\hat {\sigma }}\,n^{-1/5},}$

Чтобы сделать значение h более устойчивым, чтобы обеспечить хорошее соответствие как для длиннохвостого, так и для асимметричного распределения, а также для бимодального смешанного распределения, лучше заменить значение ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$ с другим параметром A, который определяется как:

A = min (стандартное отклонение, межквартильный размах /1.34).

Еще одна модификация, улучшающая модель, - снижение коэффициента с 1,06 до 0,9. Тогда окончательная формула будет такой:

${\displaystyle h=0.9\,\min \left({\hat {\sigma }},{\frac {IQR}{1.34}}\right)\,n^{-{\frac {1}{5}}}}$

куда ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$ это стандартное отклонение образцов, n - размер выборки. IQR межквартильный размах.

Это приближение называется приближение нормального распределения, Гауссовское приближение или Сильверман эмпирическое правило.^[23] Хотя это эмпирическое правило легко вычислить, его следует использовать с осторожностью, поскольку оно может привести к весьма неточным оценкам, когда плотность не близка к нормальной. Например, при оценке бимодального Модель гауссовой смеси

Сравнение между практическим правилом и пропускной способностью решения уравнения.

${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2{\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}(x-10)^{2}}+{\frac {1}{2{\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}(x+10)^{2}}}$

из выборки 200 баллов. На рисунке справа показаны истинная плотность и две оценки плотности ядра - одна с использованием полосы пропускания, основанная на практическом правиле, а другая с использованием полосы пропускания на основе решения уравнения.^[7][17] Оценка, основанная на практическом правиле пропускной способности, значительно сглажена.

Связь с оценкой плотности характеристической функции

Учитывая образец (Икс₁, Икс₂, …, Икс_п) естественно оценить характеристическая функция φ(т) = E [е^itX] в качестве

${\displaystyle {\widehat {\varphi }}(t)={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}e^{itx_{j}}}$

Зная характеристическую функцию, можно найти соответствующую функцию плотности вероятности через преобразование Фурье формула. Одна из трудностей с применением этой формулы обращения состоит в том, что она приводит к расходящемуся интегралу, поскольку оценка ${\displaystyle \scriptstyle {\widehat {\varphi }}(t)}$ ненадежен для больших тS. Чтобы обойти эту проблему, оценщик ${\displaystyle \scriptstyle {\widehat {\varphi }}(t)}$ умножается на функцию демпфирования ψ_час(т) = ψ(ht), который равен 1 в начале координат, а затем падает до 0 на бесконечности. «Параметр пропускной способности» час контролирует, насколько быстро мы пытаемся ослабить функцию ${\displaystyle \scriptstyle {\widehat {\varphi }}(t)}$. В частности, когда час маленький, то ψ_час(т) будет примерно один для большого диапазона тS, что означает, что ${\displaystyle \scriptstyle {\widehat {\varphi }}(t)}$ остается практически неизменным в важнейшем регионе тS.

Самый распространенный выбор функции ψ является либо равномерной функцией ψ(т) = 1{−1 ≤ т ≤ 1}, что фактически означает усечение интервала интегрирования в формуле обращения до [−1/час, 1/час], или Функция Гаусса ψ(т) = е^−πт2. Как только функция ψ был выбран, можно применить формулу инверсии, и оценка плотности будет

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\widehat {\varphi }}(t)\psi _{h}(t)e^{-itx}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}e^{it(x_{j}-x)}\psi (ht)\,dt\\[5pt]&={\frac {1}{nh}}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-i(ht){\frac {x-x_{j}}{h}}}\psi (ht)\,d(ht)={\frac {1}{nh}}\sum _{j=1}^{n}K{\Big (}{\frac {x-x_{j}}{h}}{\Big )},\end{aligned}}}$

куда K это преобразование Фурье функции демпфирования ψ. Таким образом, оценка плотности ядра совпадает с оценкой плотности характеристической функции.

Геометрические и топологические особенности

Мы можем расширить определение (глобального) режима до локального значения и определить локальные режимы:

${\displaystyle M=\{x:g(x)=0,\lambda _{1}(x)<0\}}$

А именно, ${\displaystyle M}$ представляет собой набор точек, для которых функция плотности локально максимальна. Естественная оценка ${\displaystyle M}$ это плагин от KDE,^[24][25] куда ${\displaystyle g(x)}$ и ${\displaystyle \lambda _{1}(x)}$ KDE версия ${\displaystyle g(x)}$ и ${\displaystyle \lambda _{1}(x)}$. При умеренных предположениях, ${\displaystyle M_{c}}$ является последовательной оценкой ${\displaystyle M}$. Обратите внимание, что можно использовать алгоритм среднего сдвига^[26][27][28] вычислить оценщик ${\displaystyle M_{c}}$ численно.

Статистическая реализация

Неполный список программных реализаций ядерных оценщиков плотности включает:

• В Аналитика выпуск 4.4, Сглаживание опция для результатов PDF использует KDE, а из выражений она доступна через встроенный PDF функция.
• В C /C ++, Смоковница - это библиотека, которую можно использовать для вычисления оценок плотности ядра с использованием обычных ядер. Доступен интерфейс MATLAB.
• В C ++, libagf это библиотека для оценка плотности переменного ядра.
• В C ++, mlpack - это библиотека, которая может вычислять KDE с использованием множества различных ядер. Это позволяет установить допуск к ошибкам для более быстрого вычисления. Python и р интерфейсы доступны.
• в C # и F #, Math.NET Числа это библиотека с открытым исходным кодом для численных вычислений, которая включает оценка плотности ядра
• В CrimeStat, оценка плотности ядра реализована с использованием пяти различных функций ядра - нормальной, равномерной, четвертой, отрицательной экспоненциальной и треугольной. Доступны как одноядерные, так и двухъядерные процедуры оценки плотности. Оценка плотности ядра также используется при интерполяции подпрограммы Head Bang, при оценке двумерной функции плотности пути до преступления и при оценке трехмерной байесовской оценки пути до преступления.
• В ELKI, функции плотности ядра можно найти в пакете de.lmu.ifi.dbs.elki.math.statistics.kernelfunctions
• В ESRI продуктов, отображение плотности ядра управляется из набора инструментов Spatial Analyst и использует ядро ​​Quartic (двумерное).
• В Excel Королевское химическое общество создало надстройку для оценки плотности ядра на основе их Техническая записка 4 Комитета по аналитическим методам.
• В гнуплот, оценка плотности ядра осуществляется гладкая k-плотность вариант, файл данных может содержать вес и полосу пропускания для каждой точки, или пропускная способность может быть установлена ​​автоматически^[29] согласно "практическому правилу Сильвермана" (см. выше).
• В Haskell, плотность ядра реализована в статистика упаковка.
• В ИГОРЬ ПРО, оценка плотности ядра осуществляется СтатистикаKDE операция (добавлено в Igor Pro 7.00). Пропускная способность может быть указана или оценена пользователем с помощью Silverman, Scott или Bowmann и Azzalini. Типы ядер: Епанечников, Двухвес, Трехвес, Треугольник, Гаусс и Прямоугольник.
• В Ява, то Weka (машинное обучение) пакет обеспечивает weka.estimators.KernelEstimator, среди прочего.
• В JavaScript, пакет визуализации D3.js предлагает пакет KDE в своем пакете science.stats.
• В JMP, платформа Graph Builder использует оценку плотности ядра для получения контурных графиков и областей с высокой плотностью (HDR) для двумерных плотностей, а также графиков скрипки и HDR для одномерных плотностей. Ползунки позволяют пользователю изменять пропускную способность. Двумерные и одномерные оценки плотности ядра также предоставляются платформами Fit Y by X и Distribution соответственно.
• В Юля, оценка плотности ядра реализована в KernelDensity.jl упаковка.
• В MATLAB, оценка плотности ядра реализуется через ks плотность функция (Панель инструментов статистики). Начиная с версии MATLAB 2018a, можно указать как полосу пропускания, так и сглаживание ядра, включая другие параметры, такие как определение диапазона плотности ядра.^[30] В качестве альтернативы, бесплатный программный пакет MATLAB, который реализует метод автоматического выбора полосы пропускания.^[7] доступен из централизованного обмена файлами MATLAB для
  • 1-мерные данные
  • 2-мерные данные
  • n-мерные данные
    На сайте доступен бесплатный набор инструментов MATLAB с реализацией регрессии ядра, оценки плотности ядра, оценки ядра функции риска и многого другого. эти страницы (этот набор инструментов является частью книги ^[31]).
• В Mathematica числовая оценка плотности ядра реализуется функцией SmoothKernelDistribution^[32] а символьная оценка реализуется с помощью функции KernelMixtureDistribution^[33] оба из них обеспечивают полосу пропускания, управляемую данными.
• В Minitab Королевское химическое общество создало макрос для оценки плотности ядра на основе Технического описания 4 комитета по аналитическим методам.^[34]
• в Библиотека NAG, оценка плотности ядра осуществляется через g10ba рутина (доступна как в Fortran^[35] и C^[36] версии библиотеки).
• В Нуклеи, C ++ методы ядерной плотности сосредоточены на данных из специальной евклидовой группы ${\displaystyle SE(3)}$.
• В Октава, оценка плотности ядра осуществляется ядро_плотность вариант (пакет эконометрики).
• В Источник, 2D-график плотности ядра может быть построен из его пользовательского интерфейса, а две функции, Ksde density для 1D и Ks2de density для 2D, могут быть использованы из его LabTalk, Python, или же C код.
• В Perl, реализацию можно найти в Модуль Статистика-KernelEstimation
• В PHP, реализацию можно найти в Библиотека MathPHP
• В Python, существует множество реализаций: Модуль pyqt_fit.kde в Пакет PyQt-Fit, SciPy (scipy.stats.gaussian_kde), Статистические модели (KDEUnivariate и KDEMмультивариантный) и Scikit-learn (Плотность ядра) (см. сравнение^[37]). KDEpy поддерживает взвешенные данные, и его реализация БПФ на порядки быстрее, чем другие реализации. Часто используемая библиотека pandas [1] предлагает поддержку построения графиков kde с помощью метода plot (df.plot (вид = 'kde')[2] ). В Getdist Пакет для взвешенных и коррелированных выборок MCMC поддерживает оптимизированную полосу пропускания, коррекцию границ и методы высшего порядка для одномерных и двухмерных распределений. Одним из недавно используемых пакетов для оценки плотности ядра является seaborn ( импортировать seaborn как sns , sns.kdeplot () ).^[38] Также существует реализация KDE на графическом процессоре.^[39]
• В р, реализуется через плотность в базовом распределении и bw.nrd0 Функция используется в пакете статистики, эта функция использует оптимизированную формулу из книги Сильвермана. bkde в Библиотека KernSmooth, Оценка Парето в Библиотека AdaptGauss (для оценки плотности распределения Парето), kde в библиотека ks, dkden и dbckden в библиотека evmix (последнее для оценки плотности ядра с поправкой на границу для ограниченной опоры), обнаженные в библиотека np (числовые и категориальные данные), см. плотность в sm библиотека. Для реализации kde.R функция, не требующая установки каких-либо пакетов или библиотек, см. kde.R. В библиотека btb, посвященный городскому анализу, осуществляет оценку плотности ядра через kernel_smoothing.
• В SAS, proc kde может использоваться для оценки одномерной и двумерной плотности ядра.
• В Apache Spark, то Плотность ядра () учебный класс^[40]
• В Stata, реализуется через k плотность;^[41] Например гистограмма x, k плотность. В качестве альтернативы бесплатный модуль Stata KDENS доступен по адресу Вот позволяя пользователю оценивать функции плотности 1D или 2D.
• В Быстрый, реализуется через SwiftStats.KernelDensityEstimation в библиотеке статистики с открытым исходным кодом SwiftStats.

Смотрите также

• Ядро (статистика)
• Сглаживание ядра
• Регрессия ядра
• Оценка плотности (с представлением других примеров)
• Средний сдвиг
• Масштабировать пространство: Тройки {(Икс, час, KDE с пропускной способностью час оценивается в Икс: все Икс, час > 0} образуют масштабное пространство представление данных.
• Оценка многомерной плотности ядра
• Оценка плотности переменного ядра
• Голова / хвост ломаются

Рекомендации

1. Розенблатт, М. (1956). «Замечания о некоторых непараметрических оценках функции плотности». Анналы математической статистики. 27 (3): 832–837. Дои:10.1214 / aoms / 1177728190.
2. Парзен, Э. (1962). "Об оценке функции и моды плотности вероятности". Анналы математической статистики. 33 (3): 1065–1076. Дои:10.1214 / aoms / 1177704472. JSTOR  2237880.
3. Пирьонеси С. Мадех; Эль-Дираби Тамер Э. (01.06.2020). «Роль аналитики данных в управлении инфраструктурными активами: преодоление проблем, связанных с размером и качеством данных». Журнал транспортного машиностроения, часть B: Тротуары. 146 (2): 04020022. Дои:10.1061 / JPEODX.0000175.
4. Хасти, Тревор. (2001). Элементы статистического обучения: интеллектуальный анализ данных, вывод и прогнозирование: с 200 полноцветными иллюстрациями. Тибширани, Роберт., Фридман, Дж. Х. (Джером Х.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-95284-5. OCLC  46809224.
5. Епанечников, В.А. (1969). «Непараметрическая оценка многомерной плотности вероятности». Теория вероятностей и ее приложения. 14: 153–158. Дои:10.1137/1114019.
6. Жезл, М.П .; Джонс, М. (1995). Сглаживание ядра. Лондон: Chapman & Hall / CRC. ISBN  978-0-412-55270-0.
7. Ботев, Здравко (2007). Непараметрическая оценка плотности с помощью диффузионного перемешивания (Технический отчет). Университет Квинсленда.
8. Скотт, Д. (1979). «Об оптимальных и основанных на данных гистограммах». Биометрика. 66 (3): 605–610. Дои:10.1093 / biomet / 66.3.605.
9. Парк, Б.У .; Маррон, Дж. (1990). «Сравнение управляемых данными селекторов полосы пропускания». Журнал Американской статистической ассоциации. 85 (409): 66–72. CiteSeerX  10.1.1.154.7321. Дои:10.1080/01621459.1990.10475307. JSTOR  2289526.
10. Парк, Б.У .; Турлах, Б.А. (1992). «Практическая производительность нескольких селекторов полосы пропускания, управляемых данными (с обсуждением)». Вычислительная статистика. 7: 251–270.
11. Cao, R .; Cuevas, A .; Мантейга, В. Г. (1994). «Сравнительное исследование нескольких методов сглаживания при оценке плотности». Вычислительная статистика и анализ данных. 17 (2): 153–176. Дои:10.1016 / 0167-9473 (92) 00066-Z.
12. Jones, M.C .; Marron, J.S .; Шезер, С. Дж. (1996). «Краткий обзор выбора полосы пропускания для оценки плотности». Журнал Американской статистической ассоциации. 91 (433): 401–407. Дои:10.2307/2291420. JSTOR  2291420.
13. Шизер, С.Дж. (1992). «Производительность шести популярных методов выбора полосы пропускания на некоторых реальных наборах данных (с обсуждением)». Вычислительная статистика. 7: 225–250, 271–281.
14. Agarwal, N .; Алуру, Н. (2010). «Управляемый данными стохастический подход к коллокации для количественной оценки неопределенности в MEMS» (PDF). Международный журнал численных методов в инженерии. 83 (5): 575–597.
15. Сюй, X .; Ян, З .; Сюй, С. (2015). «Оценка вероятностного распределения скорости ветра методом ядерной плотности на основе диффузии». Исследование электроэнергетических систем. 121: 28–37. Дои:10.1016 / j.epsr.2014.11.029.
16. Ботев, З.И .; Grotowski, J.F .; Крезе, Д. (2010). «Оценка плотности ядра посредством диффузии». Анналы статистики. 38 (5): 2916–2957. arXiv:1011.2602. Дои:10.1214 / 10-AOS799.
17. Sheather, S.J .; Джонс, М. (1991). «Надежный метод выбора полосы пропускания на основе данных для оценки плотности ядра». Журнал Королевского статистического общества, серия B. 53 (3): 683–690. Дои:10.1111 / j.2517-6161.1991.tb01857.x. JSTOR  2345597.
18. Рудемо, М. (1982). «Эмпирический выбор гистограмм и ядерных оценок плотности». Скандинавский статистический журнал. 9 (2): 65–78. JSTOR  4615859.
19. Боуман, А. (1984). «Альтернативный метод перекрестной проверки для сглаживания оценок плотности». Биометрика. 71 (2): 353–360. Дои:10.1093 / biomet / 71.2.353.
20. Холл, П .; Marron, J.S .; Парк, Б.У. (1992). «Сглаженная перекрестная проверка». Теория вероятностей и смежные области. 92: 1–20. Дои:10.1007 / BF01205233.
21. Вахба, Г. (1975). «Свойства оптимальной сходимости методов переменного узла, ядра и ортогональных рядов для оценки плотности». Анналы статистики. 3 (1): 15–29. Дои:10.1214 / aos / 1176342997.
22. Бух-Ларсен, TINE (2005). «Оценка плотности ядра для распределений с тяжелыми хвостами с использованием преобразования Чамперноуна». Статистика. 39 (6): 503–518. CiteSeerX  10.1.1.457.1544. Дои:10.1080/02331880500439782.
23. Сильверман, Б. (1986). Оценка плотности для статистики и анализа данных. Лондон: Chapman & Hall / CRC. п.45. ISBN  978-0-412-24620-3.
24. Чен, Йен-Чи; Genovese, Christopher R .; Вассерман, Ларри (2016). «Комплексный подход к кластеризации режимов». Электронный статистический журнал. 10 (1): 210–241. Дои:10.1214 / 15-ejs1102. ISSN  1935-7524.
25. Шазаль, Фредерик; Фаси, Бриттани Тереза; Леччи, Фабрицио; Ринальдо, Алессандро; Вассерман, Ларри (2014). «Стохастическая конвергенция постоянных ландшафтов и силуэтов». Ежегодный симпозиум по вычислительной геометрии - SOCG'14. Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: ACM Press: 474–483. Дои:10.1145/2582112.2582128. ISBN  978-1-4503-2594-3.
26. Фукунага, К .; Хостетлер, Л. (январь 1975 г.). «Оценка градиента функции плотности с применением в распознавании образов». IEEE Transactions по теории информации. 21 (1): 32–40. Дои:10.1109 / tit.1975.1055330. ISSN  0018-9448.
27. Ицзун Чэн (1995). «Средний сдвиг, поиск режима и кластеризация». IEEE Transactions по анализу шаблонов и машинному анализу. 17 (8): 790–799. Дои:10.1109/34.400568. ISSN  0162-8828.
28. Comaniciu, D .; Меер, П. (май 2002 г.). «Среднее смещение: надежный подход к анализу пространства признаков». IEEE Transactions по анализу шаблонов и машинному анализу. 24 (5): 603–619. Дои:10.1109/34.1000236. ISSN  0162-8828.
29. Джанерт, Филипп К (2009). Gnuplot в действии: понимание данных с помощью графиков. Коннектикут, США: Manning Publications. ISBN  978-1-933988-39-9. См. Раздел 13.2.2, озаглавленный Оценки плотности ядра.
30. "Оценка функции сглаживания ядра для одномерных и двумерных данных - MATLAB ksde density". www.mathworks.com. Получено 2020-11-05.
31. Horová, I .; Koláček, J .; Зелинка, Дж. (2012). Сглаживание ядра в MATLAB: теория и практика сглаживания ядра. Сингапур: World Scientific Publishing. ISBN  978-981-4405-48-5.
32. «SmoothKernelDistribution - документация по языку Wolfram Language». reference.wolfram.com. Получено 2020-11-05.
33. «KernelMixtureDistribution - документация по языку Wolfram Language». reference.wolfram.com. Получено 2020-11-05.
34. «Программное обеспечение для расчета плотности ядра». www.rsc.org. Получено 2020-11-05.
35. Группа численных алгоритмов. "Стандартный документ библиотеки NAG: nagf_smooth_kerndens_gauss (g10baf)" (PDF). Руководство библиотеки NAG, Mark 23. Получено 2012-02-16.
36. Группа численных алгоритмов. "Стандартный документ библиотеки NAG: nag_kernel_de density_estim (g10bac)" (PDF). Руководство библиотеки NAG, Mark 9. Архивировано из оригинал (PDF) на 2011-11-24. Получено 2012-02-16.
37. Вандерплас, Джейк (01.12.2013). «Оценка плотности ядра в Python». Получено 2014-03-12.
38. "seaborn.kdeplot - документация seaborn 0.10.1". seaborn.pydata.org. Получено 2020-05-12.
39. https://pypi.org/project/kde-gpu/#description
40. «Базовая статистика - API на основе RDD - Документация Spark 3.0.1». spark.apache.org. Получено 2020-11-05.
41. https://www.stata.com/manuals15/rkde density.pdf

внешняя ссылка

• Введение в оценку плотности ядра Краткое руководство, которое рассматривает ядерные оценщики плотности как улучшение по сравнению с гистограммами.
• Оптимизация пропускной способности ядра Бесплатный онлайн-инструмент, который генерирует оптимизированную оценку плотности ядра.
• Бесплатное онлайн-программное обеспечение (калькулятор) вычисляет оценку плотности ядра для ряда данных в соответствии со следующими ядрами: гауссовское, эпанечниковское, прямоугольное, треугольное, двухвесовое, косинусное и опткосинусное.
• Апплет оценки плотности ядра Интерактивный онлайн-пример оценки плотности ядра. Требуется .NET 3.0 или новее.