Уравнения кинематики - Kinematics equations

Эта статья о уравнения используется в робототехника. Для уравнений, используемых для описания движение в классическая механика, видеть Кинематика.

Уравнения кинематики являются уравнениями связи механической системы, такой как робот манипулятор, который определяет, как входное движение в одном или нескольких суставах определяет конфигурацию устройства для достижения заданного положения или положения конечного эффектора.^[1][2] Уравнения кинематики используются для анализа и проектирования шарнирно-сочлененных систем, от четырехзвенных рычагов до последовательных и параллельных роботов.

Уравнения кинематики - это уравнения связей, которые характеризуют геометрическую конфигурацию шарнирно-сочлененной механической системы. Следовательно, эти уравнения предполагают, что звенья жесткие, а соединения обеспечивают чистое вращение или поступательное движение. Уравнения связи этого типа известны как голономные ограничения в изучении динамика систем нескольких тел.

Уравнения цикла

Уравнения кинематики механической системы формируются как последовательность жестких преобразований вдоль звеньев и вокруг соединений в механической системе. Принцип, согласно которому последовательность преобразований вокруг цикла должна возвращаться к идентичности, обеспечивает то, что известно как петлевые уравнения. Независимый набор кинематических уравнений состоит из различных наборов петлевых уравнений, имеющихся в механической системе.

Трансформации

В 1955 году Жак Денави и Ричард Хартенберг ввели соглашение об определении совместных матриц [Z] и матриц связей [X], чтобы стандартизировать системы координат для пространственных связей.^[3][4] Это соглашение позиционирует соединительную раму так, чтобы она состояла из винтового смещения по оси Z

${\displaystyle [Z_{i}]={\begin{bmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}&0&0\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}&0&0\\0&0&1&d_{i}\\0&0&0&1\end{bmatrix}},}$

и он позиционирует раму звена так, чтобы она состояла из винтового смещения по оси X,

${\displaystyle [X_{i}]={\begin{bmatrix}1&0&0&a_{i,i+1}\\0&\cos \alpha _{i,i+1}&-\sin \alpha _{i,i+1}&0\\0&\sin \alpha _{i,i+1}&\cos \alpha _{i,i+1}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Уравнения кинематики получены с использованием жесткая трансформация [Z] для характеристики относительное движение разрешено на каждом соединение и отдельное жесткое преобразование [X] для определения размеров каждого звена.

Результатом является последовательность жестких преобразований, чередующихся преобразований суставов и звеньев от основания цепи вокруг петли обратно к основанию для получения уравнения цикла,

${\displaystyle [Z_{1}][X_{1}][Z_{2}][X_{2}]\ldots [X_{n-1}][Z_{n}]=[I].\!}$

Последовательность преобразований приравнивается к матрице идентификации, потому что они возвращаются к началу цикла.

Последовательные цепи

Уравнения кинематики для последовательного цепного робота получаются путем формулирования петлевых уравнений в терминах преобразования [T] от основания к рабочему элементу, которое приравнивается к серии преобразований вдоль робота. В результате

${\displaystyle [T]=[Z_{1}][X_{1}][Z_{2}][X_{2}]\ldots [X_{n-1}][Z_{n}],\!}$

Эти уравнения называются уравнениями кинематики последовательной цепи.

Параллельные цепи

Уравнения кинематики для параллельной цепи или параллельного робота, образованного конечным эффектором, поддерживаемым несколькими последовательными цепями, получаются из уравнений кинематики каждой из поддерживающих последовательных цепей. Предположим, что м последовательные цепи поддерживают конечный эффектор, тогда преобразование из основания в конечный эффектор определяется м уравнения

${\displaystyle [T]=[Z_{1,j}][X_{1,j}][Z_{2,j}][X_{2,j}]\ldots [X_{n-1,j}][Z_{n,j}],\quad j=1,\ldots ,m.\!}$

Эти уравнения являются уравнениями кинематики параллельной цепи.

Прямая кинематика

Уравнения кинематики последовательных и параллельных роботов можно рассматривать как связывающие параметры, такие как углы сочленения, которые находятся под управлением исполнительных механизмов, с положением и ориентацией [T] рабочего органа.

С этой точки зрения уравнения кинематики можно использовать двумя разными способами. Первый позвонил передняя кинематика использует заданные значения параметров соединения для вычисления положения и ориентации рабочего органа. Второй называется обратная кинематика использует положение и ориентацию рабочего органа для вычисления значений параметров соединения.

Примечательно, что в то время как прямая кинематика последовательной цепи представляет собой прямое вычисление одного матричного уравнения, прямая кинематика параллельной цепочки требует одновременного решения нескольких матричных уравнений, что представляет собой серьезную проблему.

Рекомендации

1. Пол, Ричард (1981). Роботы-манипуляторы: математика, программирование и управление: компьютерное управление роботами-манипуляторами. MIT Press, Кембридж, Массачусетс. ISBN  978-0-262-16082-7.
2. Дж. М. Маккарти, 1990 г., Введение в теоретическую кинематику, MIT Press, Кембридж, Массачусетс.
3. Дж. Денавит и Р.С. Хартенберг, 1955, «Кинематическая запись для механизмов нижних пар, основанных на матрицах». Trans ASME J. Appl. Мех, 23:215–221.
4. Хартенберг Р. С. и Дж. Денавит. Кинематический синтез связей. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл, 1964 г. онлайн через KMODDL