Уравнения Колмогорова (процесс марковского скачка) - Kolmogorov equations (Markov jump process)

В контексте марковский процесс с непрерывным временем, то Уравнения Колмогорова, включая Колмогоровские прямые уравнения и Колмогоровские обратные уравнения, представляют собой пару систем дифференциальные уравнения которые описывают временную эволюцию вероятность ${\displaystyle P(x,s;y,t)}$, куда ${\displaystyle x,y\in \Omega }$ (пространство состояний) и ${\displaystyle t>s}$ - окончательное и начальное время соответственно.

Уравнения

В случае счетный пространство состояний мы положили ${\displaystyle i,j}$ на месте ${\displaystyle x,y}$. Колмогоровские прямые уравнения читать

${\displaystyle {\frac {\partial P_{ij}}{\partial t}}(s;t)=\sum _{k}P_{ik}(s;t)A_{kj}(t)}$,

куда ${\displaystyle A(t)}$ это матрица скорости перехода (также известная как матрица генератора),

пока Колмогоровские обратные уравнения находятся

${\displaystyle {\frac {\partial P_{ij}}{\partial s}}(s;t)=-\sum _{k}A_{ik}(s)P_{kj}(s;t)}$

Функции ${\displaystyle P_{ij}(s;t)}$ непрерывны и дифференцируемы по обоим аргументам по времени. Они представляют собой вероятность того, что система, которая была в состоянии ${\displaystyle i}$ вовремя ${\displaystyle s}$ переходит в состояние ${\displaystyle j}$ в более позднее время ${\displaystyle t>s}$. Непрерывные количества ${\displaystyle A_{ij}(t)}$ удовлетворить

${\displaystyle A_{ij}(t)=\left[{\frac {\partial P_{ij}}{\partial u}}(t;u)\right]_{u=t},\quad A_{jk}(t)\geq 0,\ j\neq k,\quad \sum _{k}A_{jk}(t)=0.}$

Фон

Оригинальный вывод уравнений Колмогорова ^[1] начинается с Уравнение Чепмена-Колмогорова (Колмогоров назвал это Основное уравнение) для непрерывных во времени и дифференцируемых марковских процессов на конечном дискретном пространстве состояний. В этой постановке предполагается, что вероятности ${\displaystyle P(i,s;j,t)}$ являются непрерывными и дифференцируемыми функциями ${\displaystyle t>s}$. Также предполагаются адекватные предельные свойства для производных. Вальщик ^[2] выводит уравнения при несколько иных условиях, начиная с концепции чисто разрывный марковский процесс и формулируя их для более общих пространств состояний. Вальщик ^[2] доказывает существование решений вероятностного характера для Колмогоровские прямые уравнения и Колмогоровские обратные уравнения в естественных условиях.

Связь с производящей функцией

По-прежнему в случае дискретного состояния, позволяя ${\displaystyle s=0}$ и предполагая, что система изначально находится в состоянии${\displaystyle i}$, The Колмогоровские прямые уравнения описать начальную задачу для нахождения вероятностей процесса с учетом величин ${\displaystyle A_{jk}(t)}$. Мы пишем ${\displaystyle p_{k}(t)=P_{ik}(0;t)}$ куда ${\displaystyle \sum _{k}p_{k}(t)=1}$, тогда

${\displaystyle {\frac {dp_{k}}{dt}}(t)=\sum _{j}A_{jk}(t)p_{j}(t);\quad p_{k}(0)=\delta _{ik},\qquad k=0,1,\dots .}$

Для случая чистого процесса смерти с постоянными скоростями единственными ненулевыми коэффициентами являются ${\displaystyle A_{j,j-1}=\mu ,\ j\geq 1}$. Сдача

${\displaystyle \Psi (x,t)=\sum _{k}x^{k}p_{k}(t),\quad }$

система уравнений в этом случае может быть преобразована в виде уравнение в частных производных за ${\displaystyle {\Psi }(x,t)}$ с начальным условием ${\displaystyle \Psi (x,0)=x^{i}}$. После некоторых манипуляций система уравнений выглядит так:^[3]

${\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}(x,t)=\mu (1-x){\frac {\partial {\Psi }}{\partial x}}(x,t);\qquad \Psi (x,0)=x^{i},\quad \Psi (1,t)=1.}$

История

Краткую историческую справку можно найти на Уравнения Колмогорова.

Смотрите также

• Марковский процесс с непрерывным временем
• Перейти процесс
• Главное уравнение
• Уравнение Фоккера – Планка
• Колмогоровские обратные уравнения (диффузия)

Рекомендации

1. Колмогоров, А. (1931). "Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung". Mathematische Annalen. 104: 415–458. Дои:10.1007 / BF01457949.
2. Феллер, Вилли (1940) "Об интегродифференциальных уравнениях чисто разрывных марковских процессов", Труды Американского математического общества, 48 (3), 488-515 JSTOR  1990095
3. Бейли, Норман Т.Дж. (1990) Элементы случайных процессов в приложениях к естествознанию, Wiley. ISBN  0-471-52368-2 (стр.90)