Константа Коморника – Лорети - Komornik–Loreti constant - Wikipedia

В математической теории нестандартные позиционные системы счисления, то Константа Коморника – Лорети это математическая константа что представляет собой самую маленькую базу q для которого число 1 имеет уникальное представление, называемое его q-разработка. Константа названа в честь Вилмос Коморник и Паола Лорети, который определил его в 1998 году.^[1]

Определение

Учитывая реальное число q > 1, серия

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{-n}}$

называется q-расширение, или ${\displaystyle \beta }$-расширение положительного действительного числа Икс если для всех ${\displaystyle n\geq 0}$, ${\displaystyle 0\leq a_{n}\leq \lfloor q\rfloor }$, куда ${\displaystyle \lfloor q\rfloor }$ это функция пола и ${\displaystyle a_{n}}$ не обязательно должно быть целым числом. Любое реальное число ${\displaystyle x}$ такой, что ${\displaystyle 0\leq x\leq q\lfloor q\rfloor /(q-1)}$ имеет такое расширение, которое можно найти с помощью жадный алгоритм.

Частный случай ${\displaystyle x=1}$, ${\displaystyle a_{0}=0}$, и ${\displaystyle a_{n}=0}$ или 1 иногда называют ${\displaystyle q}$-разработка. ${\displaystyle a_{n}=1}$ дает только 2-х развертку. Однако почти все ${\displaystyle 1<q<2}$, существует бесконечное количество различных ${\displaystyle q}$-разработки. Что еще более удивительно, существуют исключительные ${\displaystyle q\in (1,2)}$ для которого существует только один ${\displaystyle q}$-разработка. Кроме того, есть наименьшее число ${\displaystyle 1<q<2}$ известная как постоянная Коморника – Лорети, для которой существует единственная ${\displaystyle q}$-разработка.^[2]

Ценить

Постоянная Коморника – Лорети - это величина ${\displaystyle q}$ такой, что

${\displaystyle 1=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t_{k}}{q^{k}}}}$

куда ${\displaystyle t_{k}}$ это Последовательность Туэ – Морса, т.е. ${\displaystyle t_{k}}$ является четностью числа единиц в двоичном представлении ${\displaystyle k}$. Имеет приблизительную стоимость

${\displaystyle q=1.787231650\ldots .\,}$^[3]

Постоянная ${\displaystyle q}$ также является единственным положительным действительным корнем из

${\displaystyle \prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{q^{2^{k}}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{q}}\right)^{-1}-2.}$

Эта константа трансцендентный.^[4]

Смотрите также

• Постоянная Эйлера-Маскерони
• Слово Фибоначчи
• Последовательность Голая – Рудина – Шапиро.
• Постоянная Пруэ – Туэ – Морса

Рекомендации

1. Коморник, Вилмос; Лорети, Паола (1998), "Уникальные разработки в нецелочисленных основаниях", Американский математический ежемесячный журнал, 105 (7): 636–639, Дои:10.2307/2589246, JSTOR  2589246, МИСТЕР  1633077
2. Вайсман, Эрик В. "q-расширение" Из Вольфрам MathWorld. Проверено 18 октября 2009.
3. Вайсман, Эрик В. «Константа Коморника – Лоретти». Из Вольфрам MathWorld. Проверено 27 декабря 2010.
4. Аллуш, Жан-Поль; Коснар, Мишель (2000), "Константа Коморника – Лорети трансцендентна", Американский математический ежемесячный журнал, 107 (5): 448–449, Дои:10.2307/2695302, JSTOR  2695302, МИСТЕР  1763399