Полином Костки - Kostka polynomial

В математика, Полиномы Костки, названный в честь математика Карл Костка, являются семьями многочлены которые обобщают Костка номера. Они изучаются преимущественно в алгебраическая комбинаторика и теория представлений.

Полиномы Костки с двумя переменными K_λμ(q, т) известны под несколькими именами, включая Полиномы Костки – Фоулкса, Многочлены Макдональда – Костки. или же q,т-Полиномы Костки. Здесь индексы λ и μ равны целые разделы и K_λμ(q, т) полиномиален от переменных q и т. Иногда рассматривают варианты этих многочленов с одной переменной, которые возникают, если положить q = 0, т. Е. Рассмотрев многочлен K_λμ(т) = K_λμ(0, т).

Есть две немного разные версии, одна из которых называется преобразованные многочлены Костки.^{[нужна цитата ]}

Специализации полиномов Костки с одной переменной могут быть использованы для связи Полиномы Холла-Литтлвуда п_μ к Полиномы Шура s_λ:

${\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\mu }K_{\lambda \mu }(t)P_{\mu }(x_{1},\ldots ,x_{n};t).\ }$

Эти полиномы были предположены Фоулксом с целыми неотрицательными коэффициентами, и это было позже доказано в 1978 году. Ален Ласку и Марсель-Пауль Шютценбергер.^[1]Фактически они показывают, что

${\displaystyle K_{\lambda \mu }(t)=\sum _{T\in SSYT(\lambda ,\mu )}t^{charge(T)}}$

где сумма берется по всем полустандартным Молодые картины формы λ и веса μ. Здесь обвинять - некоторая комбинаторная статистика на полустандартных таблицах Юнга.

Многочлены Макдональда – Костки можно использовать для установления связи Многочлены Макдональда (также обозначается п_μ) к Полиномы Шура s_λ:

${\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\mu }K_{\lambda \mu }(q,t)J_{\mu }(x_{1},\ldots ,x_{n};q,t)\ }$

куда

${\displaystyle J_{\mu }(x_{1},\ldots ,x_{n};q,t)=P_{\mu }(x_{1},\ldots ,x_{n};q,t)\prod _{s\in \mu }(1-q^{arm(s)}t^{leg(s)+1}).\ }$

Костка номера являются специальными значениями полиномов Костки с 1 или 2 переменными:

${\displaystyle K_{\lambda \mu }=K_{\lambda \mu }(1)=K_{\lambda \mu }(0,1).\ }$

Примеры

Рекомендации

1. Lascoux, A .; Scützenberger, M.P. "Sur une conjecture de H.O. Foulkes". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, серия A-B. 286 (7): A323 – A324.

• Макдональд, И.Г. (1995), Симметричные функции и многочлены Холла, Oxford Mathematical Monographs (2-е изд.), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853489-1, МИСТЕР  1354144^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Нельсен, Кендра; Рам, Арун (2003), "Многочлены Костки-Фоулкса и сферические функции Макдональда", Обзоры по комбинаторике, 2003 г. (Бангор), Лондонская математика. Soc. Lecture Note Ser., 307, Кембридж: Cambridge Univ. Press, стр. 325–370, arXiv:математика / 0401298, Bibcode:2004математика ...... 1298N, МИСТЕР  2011741
• Стембридж, Дж. Р. (2005), Полиномы Костки-Фоулкса общего типа., конспекты лекций семинара AIM по обобщенным полиномам Костки

внешняя ссылка

• Краткие таблицы полиномов Костки
• Длинные таблицы полиномов Костки