Косткинское число - Kostka number

Три полустандартные таблицы Юнга формы λ = (3, 2) и веса μ = (1, 1, 2, 1). Их считают по числу Костки. K_λμ = 3.

В математика, то Косткинское число K_λμ (в зависимости от двух целые разделы λ и μ) является неотрицательное целое число что равно количеству полустандартные таблицы Юнга формы λ и веса μ. Их ввел математик Карл Костка в своем исследовании симметричных функций (Костка (1882) ).^[1]

Например, если λ = (3, 2) и μ = (1, 1, 2, 1), число Костки K_λμ подсчитывает количество способов заполнить выровненную по левому краю коллекцию ящиков с 3 в первой строке и 2 во второй строке с 1 копией числа 1, 1 копией числа 2, 2 копиями числа 3 и 1 копией числа 4 так, чтобы записи увеличивались по столбцам и не уменьшались по строкам. Три такие таблицы показаны справа, а K_{(3, 2) (1, 1, 2, 1)} = 3.

Примеры и частные случаи

Для любого разбиения λ число Костки K_λλ равно 1: единственный способ заполнить Диаграмма Юнга формы λ = (λ₁, λ₂, ..., λ_м) с λ₁ копии 1, λ₂ копии 2 и т. д., так что результирующая таблица слабо возрастает по строкам и строго возрастает по столбцам, если все единицы помещаются в первую строку, все 2 помещаются во вторую строку и т. д. (Эту таблицу иногда называют Таблица Яманучи формы λ.)

Число Костки K_λμ положительна (т.е. существуют полустандартные таблицы Юнга формы λ и веса μ) тогда и только тогда, когда λ и μ являются разбиениями одного и того же целого числа п и λ больше μ в порядок доминирования.^[2]

В общем, хороших формул для чисел Костки не существует. Однако известны некоторые частные случаи. Например, если μ = (1, 1, 1, ..., 1) - разбиение, все части которого равны 1, то полустандартная таблица Юнга веса μ является стандартной таблицей Юнга; количество стандартных таблиц Юнга заданной формы λ задается формула длины крючка.

Свойства

Важное простое свойство чисел Костки состоит в том, что K_λμ не зависит от порядка записей μ. Например, K_{(3, 2) (1, 1, 2, 1)} = K_{(3, 2) (1, 1, 1, 2)}. Это не сразу очевидно из определения, но может быть продемонстрировано путем установления взаимно однозначного соответствия между наборами полустандартных таблиц Юнга формы λ и весов μ и μ ', где μ и μ' отличаются только заменой двух элементов местами.^[3]

Числа Костки, симметрические функции и теория представлений

Помимо чисто комбинаторный определение выше, их также можно определить как коэффициенты, которые возникают, когда кто-то выражает Полином Шура s_λ как линейная комбинация из мономиальные симметричные функции м_μ:

${\displaystyle s_{\lambda }=\sum _{\mu }K_{\lambda \mu }m_{\mu },}$

где λ и μ - разбиения п. В качестве альтернативы полиномы Шура также могут быть выражены^[4] так как

${\displaystyle s_{\lambda }=\sum _{\alpha }K_{\lambda \alpha }x^{\alpha },}$

где сумма по всем слабые составы α из п и Икс^α обозначает моном Икс₁^α₁⋯Икс_п^α_п.

Из-за связи между теорией симметричных функций и теория представлений, Числа Костки также выражают разложение модуль перестановки M_μ с точки зрения представлений V_λ соответствующий персонажу s_λ, т.е.

${\displaystyle M_{\mu }=\bigoplus _{\lambda }K_{\lambda \mu }V_{\lambda }.}$

На уровне представлений общая линейная группа ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$, число Костки K_λμ считает размерность весовое пространство соответствующему μ в неприводимое представление V_λ (где требуется, чтобы μ и λ имели не более п части).

Примеры

Цифры Костки для перегородок размером не более 3 следующие:

K_{(0) (0)} = 1 (здесь (0) представляет собой пустой раздел)

K_{(1) (1)} = 1

K_{(2) (2)} = K_{(2) (1,1)} = K_{(1,1) (1,1)} = 1, K_{(1,1) (2)} = 0.

K_{(3) (3)} = K_{(3) (2,1)} = K_{(3) (1,1,1)} = 1

K_{(2,1) (3)} = 0, K_{(2,1) (2,1)} = 1, K_{(2,1) (1,1,1)} = 2

K_{(1,1,1) (3)} = K_{(1,1,1) (2,1)} = 0, K_{(1,1,1) (1,1,1)} = 1

Эти значения являются в точности коэффициентами в разложениях функций Шура по мономиальным симметричным функциям:

s = м = 1 (индексируется пустой партией)

s₁ = м₁

s₂ = м₂ + м₁₁

s₁₁ = м₁₁

s₃ = м₃ + м₂₁ + м₁₁₁

s₂₁ = м₂₁ + 2м₁₁₁

s₁₁₁ = м_111.

Костка (1882 г., стр. 118-120) даны таблицы этих номеров для разбиений на числа до 8.

Обобщения

Числа Костки - это особые значения переменной 1 или 2. Полиномы Костки:

${\displaystyle K_{\lambda \mu }=K_{\lambda \mu }(1)=K_{\lambda \mu }(0,1).}$

Заметки

1. Стэнли, Перечислительная комбинаторика, том 2, с. 398.
2. Стэнли, Перечислительная комбинаторика, том 2, с. 315.
3. Стэнли, Перечислительная комбинаторика, том 2, с. 311.
4. Стэнли, Перечислительная комбинаторика, том 2, с. 311.

использованная литература

• Стэнли, Ричард (1999), Перечислительная комбинаторика, том 2, Издательство Кембриджского университета
• Костка, С. (1882), "Über den Zusammenhang zwischen einigen Formen von simrischen Funktionen", Журнал Крелля, 93: 89–123^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Макдональд, И.Г. (1995), Симметричные функции и многочлены Холла, Oxford Mathematical Monographs (2-е изд.), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853489-1, Г-Н  1354144, заархивировано из оригинал на 2012-12-11
• Саган, Брюс Э. (2001) [1994], «Функции Шура в алгебраической комбинаторике», Энциклопедия математики, EMS Press