Принцип инвариантности Ла-Салля - LaSalles invariance principle - Wikipedia

Принцип инвариантности ЛаСалля (также известный как принцип инвариантности,^[1] Принцип Барбашина-Красовского-Ла-Салля,^[2] или же Принцип Красовского-ЛаСалля. ) является критерием асимптотическая устойчивость автономного (возможно, нелинейного) динамическая система.

Глобальная версия

Предположим, что система представлена ​​как

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=f\left(\mathbf {x} \right)}$

куда ${\displaystyle \mathbf {x} }$ - вектор переменных, причем

${\displaystyle f\left(\mathbf {0} \right)=\mathbf {0} .}$

Если ${\displaystyle C^{1}}$ функция ${\displaystyle V(\mathbf {x} )}$ можно найти так, что

${\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )\leq 0}$ для всех ${\displaystyle \mathbf {x} }$ (отрицательное полуопределенное),

затем набор очки накопления любой траектории содержится в ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ куда ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ представляет собой объединение полных траекторий, целиком содержащихся в множестве ${\displaystyle \{\mathbf {x} :{\dot {V}}(\mathbf {x} )=0\}}$.

Если у нас дополнительно есть эта функция ${\displaystyle V}$ положительно определен, т.е.

${\displaystyle V(\mathbf {x} )>0}$, для всех ${\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }$

${\displaystyle V(\mathbf {0} )=0}$

и если ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ не содержит траектории системы, кроме тривиальной траектории ${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {0} }$ за ${\displaystyle t\geq 0}$, то начало координат равно асимптотически устойчивый.

Кроме того, если ${\displaystyle V}$ радиально неограничен, т.е.

${\displaystyle V(\mathbf {x} )\to \infty }$, так как ${\displaystyle \Vert \mathbf {x} \Vert \to \infty }$

тогда происхождение глобально асимптотически устойчивый.

Локальная версия

Если

${\displaystyle V(\mathbf {x} )>0}$, когда ${\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }$

${\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )\leq 0}$

держать только для ${\displaystyle \mathbf {x} }$ в каком-то районе ${\displaystyle D}$ происхождения, а множество

${\displaystyle \{{\dot {V}}(\mathbf {x} )=0\}\bigcap D}$

не содержит никаких траекторий системы, кроме траектории ${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {0} ,t\geq 0}$, то локальная версия принципа инвариантности утверждает, что начало координат локально асимптотически устойчивый.

Отношение к теории Ляпунова

Если ${\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )}$ является отрицательно определенный, глобальная асимптотическая устойчивость начала координат является следствием Вторая теорема Ляпунова. Принцип инвариантности дает критерий асимптотической устойчивости в случае, когда ${\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )}$ только отрицательный полуопределенный.

Пример: маятник с трением

В этом разделе будет применяться принцип инвариантности для установления локального асимптотическая устойчивость простой системы маятник с трением. Эту систему можно смоделировать с помощью дифференциального уравнения ^[1]

${\displaystyle ml{\ddot {\theta }}=-mg\sin \theta -kl{\dot {\theta }}}$

куда ${\displaystyle \theta }$ - угол маятника с вертикальной нормалью, ${\displaystyle m}$ масса маятника, ${\displaystyle l}$ длина маятника, ${\displaystyle k}$ это коэффициент трения, и грамм ускорение свободного падения.

Это, в свою очередь, можно записать в виде системы уравнений

${\displaystyle {\dot {x}}_{1}=x_{2}}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{2}=-{\frac {g}{l}}\sin x_{1}-{\frac {k}{m}}x_{2}}$

Используя принцип инвариантности, можно показать, что все траектории, которые начинаются в шаре определенного размера вокруг начала координат ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=0}$ асимптотически сходятся к началу координат. Мы определяем ${\displaystyle V(x_{1},x_{2})}$ в качестве

${\displaystyle V(x_{1},x_{2})={\frac {g}{l}}(1-\cos x_{1})+{\frac {1}{2}}x_{2}^{2}}$

Этот ${\displaystyle V(x_{1},x_{2})}$ это просто масштабированная энергия системы ^[2] Четко, ${\displaystyle V(x_{1},x_{2})}$ является положительно определенный в открытом шаре радиуса ${\displaystyle \pi }$ вокруг происхождения. Вычисляя производную,

${\displaystyle {\dot {V}}(x_{1},x_{2})={\frac {g}{l}}\sin x_{1}{\dot {x}}_{1}+x_{2}{\dot {x}}_{2}=-{\frac {k}{m}}x_{2}^{2}}$

Заметьте, что ${\displaystyle V(0)={\dot {V}}(0)=0}$. Если бы это было правдой, ${\displaystyle {\dot {V}}<0}$, можно сделать вывод, что каждая траектория приближается к началу координат на Вторая теорема Ляпунова. К несчастью, ${\displaystyle {\dot {V}}\leq 0}$ и ${\displaystyle {\dot {V}}}$ только отрицательный полуопределенный поскольку ${\displaystyle x_{1}}$ может быть ненулевым, когда ${\displaystyle {\dot {V}}=0}$. Однако набор

${\displaystyle S=\{(x_{1},x_{2})|{\dot {V}}(x_{1},x_{2})=0\}}$

что просто набор

${\displaystyle S=\{(x_{1},x_{2})|x_{2}=0\}}$

не содержит никакой траектории системы, кроме тривиальной траектории Икс = 0. Действительно, если когда-нибудь ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle x_{2}(t)=0}$, тогда потому что ${\displaystyle x_{1}}$ должно быть меньше чем ${\displaystyle \pi }$ вдали от начала, ${\displaystyle \sin x_{1}\neq 0}$ и ${\displaystyle {\dot {x}}_{2}(t)\neq 0}$. В результате траектория не останется в заданной ${\displaystyle S}$.

Все условия локальной версии принципа инвариантности выполнены, и мы можем сделать вывод, что каждая траектория, начинающаяся в некоторой окрестности начала координат, будет сходиться к началу координат как ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$ ^[3].

История

Общий результат был независимо открыт J.P. LaSalle (тогда в РИАС ) и Н.Н. Красовский, опубликованные в 1960 и 1959 годах соответственно. Пока LaSalle был первым автором на Западе, опубликовавшим общую теорему в 1960 году, частный случай теоремы был сообщен в 1952 году Барбашиным и Красовский с последующей публикацией общего результата в 1959 г. Красовский ^[4].

Смотрите также

• Теория устойчивости
• Ляпуновская устойчивость

Оригинальные статьи

• LaSalle, J.P. Некоторые расширения второго метода Ляпунова, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520–527, 1960. (PDF )
• Барбашин, Э. А .; Николай Николаевич Красовский (1952). Об устойчивости движения в целом [Об устойчивости движения в целом]. Доклады Академии Наук СССР (на русском). 86: 453–456.
• Красовский, Н. Проблемы теории устойчивости движения, (Русский), 1959. Английский перевод: Stanford University Press, Stanford, CA, 1963.

Учебники

• LaSalle, J.P.; Лефшец, С. (1961). Устойчивость прямым методом Ляпунова.. Академическая пресса.
• Хаддад, В.; Челлабойна, VS (2008). Нелинейные динамические системы и управление, подход на основе Ляпунова. Издательство Принстонского университета. ISBN  9780691133294.
• Тешль, Г. (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы.. Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-8328-0.
• Виггинс, С. (2003). Введение в прикладные нелинейные динамические системы и хаос (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN  0-387-00177-8.

Лекции

• Техасский университет A&M примечания к принципу инвариантности (PDF )
• Государственный университет Северной Каролины примечания к принципу инвариантности ЛаСалля (PDF ).
• Калтех примечания к принципу инвариантности ЛаСалля (PDF ).
• Массачусетский технологический институт Заметки OpenCourseware по анализу устойчивости по Ляпунову и принципу инвариантности (PDF ).
• Университет Пердью примечания по теории устойчивости и принципу инвариантности ЛаСалля (PDF^{[постоянная мертвая ссылка ]}).

Рекомендации

1. Халил, Хасан (2002). Нелинейные системы (3-е изд.). Верхняя река Седл, штат Нью-Джерси: Prentice Hall.
2. Вассим, Хаддад; Челлабоина, ВиджайСехар (2008). Нелинейные динамические системы и управление, подход на основе Ляпунова. Издательство Принстонского университета.

1. ^ Конспект лекций по нелинейному управлению, Университет Нотр-Дам, преподаватель: Майкл Леммон, лекция 4.
2. ^ там же.
3. ^ Конспект лекций по нелинейному анализу, Национальный университет Тайваня, преподаватель: Фэн-Ли Лянь, лекция 4-2.
4. ^ Видьясагар, М. Нелинейный системный анализ, Классика SIAM в прикладной математике, SIAM Press, 2002.