Номер Ла - Lah number

Иллюстрация беззнаковых чисел Ла для п и k от 1 до 4

В математика, то Числа Ла, обнаруженный Иво Ла в 1954 г.,^[1][2] находятся коэффициенты выражая рост факториалов с точки зрения падающие факториалы. Они также являются коэффициентами при ${\displaystyle n}$th производные от ${\displaystyle e^{1 \over x}}$.^[3]

Беззнаковые числа Ла иметь интересное значение в комбинаторика: они подсчитывают количество способов набор из п элементы могут быть разделенный в k непустой линейно упорядоченный подмножества.^[4] Числа Ла связаны с Числа Стирлинга.^[5]

Беззнаковые числа Ла (последовательность A105278 в OEIS ):

${\displaystyle L(n,k)={n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}.}$

Подписанные числа Ла (последовательность A008297 в OEIS ):

${\displaystyle L'(n,k)=(-1)^{n}{n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}.}$

L(п, 1) всегда п!; в интерпретации выше, единственное разделение {1, 2, 3} на 1 набор может иметь свой набор, упорядоченный 6 способами:

{(1, 2, 3)}, {(1, 3, 2)}, {(2, 1, 3)}, {(2, 3, 1)}, {(3, 1, 2)} или {(3, 2, 1)}

L(3, 2) соответствует 6 разделам с двумя заказанными частями:

{(1), (2, 3)}, {(1), (3, 2)}, {(2), (1, 3)}, {(2), (3, 1)}, {( 3), (1, 2)} или {(3), (2, 1)}

L(п, п) всегда равно 1, так как, например, разделение {1, 2, 3} на 3 непустых подмножества приводит к подмножествам длины 1.

{(1), (2), (3)}

Адаптация обозначений Караматы – Кнута для Числа Стирлинга, было предложено использовать следующие альтернативные обозначения для чисел Лаха:

$${\displaystyle L(n,k)=\sum _{j=0}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\j\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}j\\k\end{matrix}}\right\}\,}$$

Растущие и падающие факториалы

Позволять ${\displaystyle x^{(n)}}$ представляют возрастающий факториал ${\displaystyle x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)}$ и разреши ${\displaystyle (x)_{n}}$ представляют падающий факториал ${\displaystyle x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)}$.

потом ${\displaystyle x^{(n)}=\sum _{k=1}^{n}L(n,k)(x)_{k}}$ и ${\displaystyle (x)_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{n-k}L(n,k)x^{(k)}.}$

Например,

$${\displaystyle x(x+1)(x+2)={\color {red}6}x+{\color {red}6}x(x-1)+{\color {red}1}x(x-1)(x-2).}$$

Сравните третью строку таблицы значений.

Личности и отношения

${\displaystyle L(n,k)={n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}={n \choose k}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}={n \choose k}{n-1 \choose k-1}(n-k)!}$

${\displaystyle L(n,k)={\frac {n!(n-1)!}{k!(k-1)!}}\cdot {\frac {1}{(n-k)!}}=\left({\frac {n!}{k!}}\right)^{2}{\frac {k}{n(n-k)!}}}$

${\displaystyle L(n,k+1)={\frac {n-k}{k(k+1)}}L(n,k).}$

${\displaystyle L(n+1,k)=(n+k)L(n,k)+L(n,k-1)}$ где ${\displaystyle L(n,0)=0}$, ${\displaystyle L(n,k)=0}$ для всех ${\displaystyle k>n}$, и ${\displaystyle L(1,1)=1.}$

${\displaystyle L(n,k)=\sum _{j}\left[{n \atop j}\right]\left\{{j \atop k}\right\},}$ где ${\displaystyle \left[{n \atop j}\right]}$ являются Числа Стирлинга первого рода и ${\displaystyle \left\{{j \atop k}\right\}}$ являются Числа Стирлинга второго рода, ${\displaystyle L(0,0)=1}$, и ${\displaystyle L(n,k)=0}$ для всех ${\displaystyle k>n}$.

${\displaystyle L(n,1)=n!}$

${\displaystyle L(n,2)=(n-1)n!/2}$

${\displaystyle L(n,3)=(n-2)(n-1)n!/12}$

${\displaystyle L(n,n-1)=n(n-1)}$

${\displaystyle L(n,n)=1}$

${\displaystyle \sum _{n\geq k}L(n,k){\frac {x^{n}}{n!}}={\frac {1}{k!}}\left({\frac {x}{1-x}}\right)^{k}}$

Таблица значений

Ниже приводится таблица значений чисел Ла:

k п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	1
2	2	1
3	6	6	1
4	24	36	12	1
5	120	240	120	20	1
6	720	1800	1200	300	30	1
7	5040	15120	12600	4200	630	42	1
8	40320	141120	141120	58800	11760	1176	56	1
9	362880	1451520	1693440	846720	211680	28224	2016	72	1
10	3628800	16329600	21772800	12700800	3810240	635040	60480	3240	90	1
11	39916800	199584000	299376000	199584000	69854400	13970880	1663200	11880	4950	110	1
12	479001600	2634508800	4390848000	3293136000	1317254400	307359360	43908480	3920400	217800	7260	132	1

Смотрите также

• Числа Стирлинга
• Матрица Паскаля

Недавнее практическое применение

В последние годы число Ла используется в Стеганография, данные скрываются в изображении. Так мало исследователей^{[6] [7]} как доктор Судипта Кумар Гхосал использовали его в этой области как альтернативу DCT, DFT и DWT из-за невысокой сложности ${\displaystyle O(nlogn)}$ вычисления целочисленных коэффициентов указанного преобразования.

использованная литература

1. Ла, Иво (1954). «Новый вид чисел и его применение в актуарной математике». Boletim do Instituto dos Actuários Portugueses. 9: 7–15.
2. Джон Риордан, Введение в комбинаторный анализ, Princeton University Press (1958, переиздание 1980) ISBN  978-0-691-02365-6 (повторно перепечатано в 2002 г. Dover Publications).
3. Дабуль, Сиад; Мангалдан, Ян; Спайви, Майкл З .; Тейлор, Питер Дж. (2013). "Числа Ла и n-я производная от ${\displaystyle e^{1 \over x}}$". Математический журнал. 86 (1): 39–47. Дои:10.4169 / math.mag.86.1.039. JSTOR  10.4169 / math.mag.86.1.039. S2CID  123113404.
4. Петковсек, Марко; Писанский, Томаз (осень 2007 г.). «Комбинаторная интерпретация беззнаковых чисел Стирлинга и Лаха». Пи Му Эпсилон Журнал. 12 (7): 417–424. JSTOR  24340704.
5. Контет, Луи (1974). Продвинутая комбинаторика. Дордрехт, Голландия: Рейдел. п.156.
6. Гхосал, Судипта Кр; Мухопадхьяй, Сурадип; Хоссейн, Саббир; Саркар, Рам (2020). «Применение преобразования Ла для обеспечения безопасности и конфиденциальности данных посредством сокрытия информации в телекоммуникациях». Сделки по развивающимся телекоммуникационным технологиям. Дои:10.1002 / ett.3984.
7. «Стеганография изображения с использованием преобразования Ла». MathWorks.