Преобразование Лапласа применяется к дифференциальным уравнениям - Laplace transform applied to differential equations

В математика, то Преобразование Лапласа это мощный интегральное преобразование используется для переключения функции из область времени к s-домен. Преобразование Лапласа можно использовать в некоторых случаях для решения линейные дифференциальные уравнения с учетом первоначальные условия.

Сначала рассмотрим следующее свойство преобразования Лапласа:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'\}=s{\mathcal {L}}\{f\}-f(0)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f''\}=s^{2}{\mathcal {L}}\{f\}-sf(0)-f'(0)}$

Можно доказать индукция который

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f^{(n)}\}=s^{n}{\mathcal {L}}\{f\}-\sum _{i=1}^{n}s^{n-i}f^{(i-1)}(0)}$

Теперь рассмотрим следующее дифференциальное уравнение:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}f^{(i)}(t)=\phi (t)}$

с заданными начальными условиями

${\displaystyle f^{(i)}(0)=c_{i}}$

С использованием линейность преобразования Лапласа эквивалентно переписать уравнение в виде

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}{\mathcal {L}}\{f^{(i)}(t)\}={\mathcal {L}}\{\phi (t)\}}$

получение

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}\sum _{i=0}^{n}a_{i}s^{i}-\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{i}a_{i}s^{i-j}f^{(j-1)}(0)={\mathcal {L}}\{\phi (t)\}}$

Решение уравнения для ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}}$ и заменяя ${\displaystyle f^{(i)}(0)}$ с ${\displaystyle c_{i}}$ можно получить

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}={\frac {{\mathcal {L}}\{\phi (t)\}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{i}a_{i}s^{i-j}c_{j-1}}{\sum _{i=0}^{n}a_{i}s^{i}}}}$

Решение для ж(т) получается применением обратное преобразование Лапласа к ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}.}$

Обратите внимание, что если все начальные условия равны нулю, т.е.

${\displaystyle f^{(i)}(0)=c_{i}=0\quad \forall i\in \{0,1,2,...\ n\}}$

тогда формула упрощается до

${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{{\mathcal {L}}\{\phi (t)\} \over \sum _{i=0}^{n}a_{i}s^{i}}\right\}}$

Пример

Мы хотим решить

${\displaystyle f''(t)+4f(t)=\cos(t)}$

с начальными условиями ж(0) = 0 и f ′(0)=0.

Отметим, что

${\displaystyle \phi (t)=\sin(2t)}$

и мы получаем

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{\phi (t)\}={\frac {2}{s^{2}+4}}}$

Тогда уравнение эквивалентно

${\displaystyle s^{2}{\mathcal {L}}\{f(t)\}-sf(0)-f'(0)+4{\mathcal {L}}\{f(t)\}={\mathcal {L}}\{\phi (t)\}}$

Мы выводим

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}={\frac {2}{(s^{2}+4)^{2}}}}$

Теперь применим обратное преобразование Лапласа, чтобы получить

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{8}}\sin(2t)-{\frac {t}{4}}\cos(2t)}$

Библиография

• Полянин А.Д., Справочник по линейным дифференциальным уравнениям с частными производными для инженеров и ученых, Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN  1-58488-299-9