Дзета-функция Лефшеца - Lefschetz zeta function

В математика, то Лефшец дзета-функция инструмент, используемый в топологической периодической и фиксированная точка теория и динамические системы. Учитывая непрерывная карта ${\displaystyle f\colon X\to X}$, дзета-функция определяется как формальный ряд

${\displaystyle \zeta _{f}(z)=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }L(f^{n}){\frac {z^{n}}{n}}\right),}$

куда ${\displaystyle L(f^{n})}$ это Число Лефшеца из ${\displaystyle n}$-го повторять из ${\displaystyle f}$. Эта дзета-функция примечательна в теории топологической периодической точки, потому что это единственный инвариант, содержащий информацию обо всех итерациях ${\displaystyle f}$.

Примеры

Карта идентичности на ${\displaystyle X}$ имеет дзета-функцию Лефшеца

${\displaystyle {\frac {1}{(1-t)^{\chi (X)}}},}$

куда ${\displaystyle \chi (X)}$ это Эйлерова характеристика из ${\displaystyle X}$, т.е. число Лефшеца тождественного отображения.

Для менее тривиального примера пусть ${\displaystyle X=S^{1}}$ быть единичный круг, и разреши ${\displaystyle f\colon S^{1}\to S^{1}}$ быть отражением в Иксось, то есть ${\displaystyle f(\theta )=-\theta }$. потом ${\displaystyle f}$ имеет номер Лефшеца 2, а ${\displaystyle f^{2}}$ - это тождественное отображение, которое имеет число Лефшеца 0. Аналогично, все нечетные итерации имеют число Лефшеца 2, а все четные итерации имеют число Лефшеца 0. Следовательно, дзета-функция ${\displaystyle f}$ является

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta _{f}(t)&=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2t^{2n+1}}{2n+1}}\right)\\&=\exp \left(\left\{2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n}}\right\}-\left\{2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{2n}}\right\}\right)\\&=\exp \left(-2\log(1-t)+\log(1-t^{2})\right)\\&={\frac {1-t^{2}}{(1-t)^{2}}}\\&={\frac {1+t}{1-t}}\end{aligned}}}$

Формула

Если ж - непрерывное отображение на компактном многообразии Икс измерения п (или, в более общем смысле, любой компактный многогранник), дзета-функция задается формулой

${\displaystyle \zeta _{f}(t)=\prod _{i=0}^{n}\det(1-tf_{\ast }|H_{i}(X,\mathbf {Q} ))^{(-1)^{i+1}}.}$

Таким образом, это рациональная функция. Многочлены, входящие в числитель и знаменатель, по сути, являются характеристическими многочленами отображения, индуцированного ж на различных пространствах гомологии.

Подключения

Эта производящая функция по сути алгебраический форма Дзета-функция Артина – Мазура, который дает геометрический информация о фиксированных и периодических точках ж.

Смотрите также

• Теорема Лефшеца о неподвижной точке
• Дзета-функция Артина – Мазура

Рекомендации

• Фельштын, Александр (2000), "Динамические дзета-функции, теория Нильсена и кручение Рейдемейстера", Мемуары Американского математического общества, 147 (699), arXiv:chao-dyn / 9603017, МИСТЕР  1697460