Функция Лежандра - Legendre function

Для наиболее распространенного случая целой степени см. Полиномы Лежандра и ассоциированные полиномы Лежандра.

В физических науках и математике Функции Лежандра п_λ, Q_λ и связанные функции Лежандра п^μ
_λ, Q^μ
_λ, и Функции Лежандра второго рода, Q_п, являются решениями дифференциального уравнения Лежандра. В Полиномы Лежандра и ассоциированные полиномы Лежандра также являются решениями дифференциального уравнения в частных случаях, которые в силу того, что они являются полиномами, имеют большое количество дополнительных свойств, математической структуры и приложений. Об этих полиномиальных решениях см. Отдельные статьи в Википедии.

Соответствующие полиномиальные кривые Лежандра для λ = л = 5.

Дифференциальное уравнение Лежандра

В общее уравнение Лежандра читает

${\displaystyle (1-x^{2})\,y''-2xy'+\left[\lambda (\lambda +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-x^{2}}}\right]\,y=0,\,}$

где числа λ и μ могут быть сложными и называются степенью и порядком соответствующей функции соответственно. Полиномиальные решения при λ является целым числом (обозначается п), и μ = 0 являются полиномами Лежандра п_п; и когда λ является целым числом (обозначается п), и μ = м также является целым числом с |м| < п являются ассоциированными полиномами Лежандра. Все остальные случаи λ и μ можно обсуждать как одно, и решения записываются п^μ
_λ, Q^μ
_λ. Если μ = 0, верхний индекс опускается, а пишется просто п_λ, Q_λ. Однако решение Q_λ когда λ является целым числом, часто обсуждается отдельно как функция Лежандра второго рода и обозначается Q_п.

Это линейное уравнение второго порядка с тремя регулярными особыми точками (при 1, −1, и ∞). Как и все подобные уравнения, его можно преобразовать в гипергеометрическое дифференциальное уравнение заменой переменной, и ее решения могут быть выражены с помощью гипергеометрические функции.

Решения дифференциального уравнения

Поскольку дифференциальное уравнение является линейным и второго порядка, у него есть два линейно независимых решения, которые можно выразить через гипергеометрическая функция, ${\displaystyle _{2}F_{1}}$. С участием ${\displaystyle \Gamma }$ будучи гамма-функция, первое решение

${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left[{\frac {1+z}{1-z}}\right]^{\mu /2}\,_{2}F_{1}\left(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;{\frac {1-z}{2}}\right),\qquad {\text{for }}\ |1-z|<2}$

а второй -

${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}\ \Gamma (\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\Gamma (\lambda +3/2)}}{\frac {e^{i\mu \pi }(z^{2}-1)^{\mu /2}}{z^{\lambda +\mu +1}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {\lambda +\mu +1}{2}},{\frac {\lambda +\mu +2}{2}};\lambda +{\frac {3}{2}};{\frac {1}{z^{2}}}\right),\qquad {\text{for}}\ \ |z|>1.}$

Они обычно известны как функции Лежандра первого и второго типа нецелой степени, с дополнительным квалификатором «связанный», если μ не равно нулю. Полезная связь между п и Q решения Формула Уиппла.

Функции Лежандра второго рода (Q_п)

График первых пяти функций Лежандра второго рода.

Неполиномиальное решение для частного случая целой степени ${\displaystyle \lambda =n\in \mathbb {N} _{0}}$, и ${\displaystyle \mu =0}$, часто обсуждается отдельно. Это дается

${\displaystyle Q_{n}(x)={\frac {n!}{1\cdot 3\cdots (2n+1)}}\left(x^{-(n+1)}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2(2n+3)}}x^{-(n+3)}+{\frac {(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{2\cdot 4(2n+3)(2n+5)}}x^{-(n+5)}+\cdots \right)}$

Это решение обязательно будет особенным, когда ${\displaystyle x=\pm 1}$.

Функции Лежандра второго рода также могут быть определены рекурсивно через Формула рекурсии Бонне

${\displaystyle Q_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\log {\frac {1+x}{1-x}}&n=0\\P_{1}(x)Q_{0}(x)-1&n=1\\{\frac {2n-1}{n}}xQ_{n-1}(x)-{\frac {n-1}{n}}Q_{n-2}(x)&n\geq 2\,.\end{cases}}}$

Ассоциированные функции Лежандра второго рода

Неполиномиальное решение для частного случая целой степени ${\displaystyle \lambda =n\in \mathbb {N} _{0}}$, и ${\displaystyle \mu =m\in \mathbb {N} _{0}}$ дан кем-то

${\displaystyle Q_{n}^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{\frac {m}{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{m}}{\mathrm {d} x^{m}}}Q_{n}(x)\,.}$

Интегральные представления

Функции Лежандра можно записать в виде контурных интегралов. Например,

${\displaystyle P_{\lambda }(z)=P_{\lambda }^{0}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{1,z}{\frac {(t^{2}-1)^{\lambda }}{2^{\lambda }(t-z)^{\lambda +1}}}dt}$

где контур огибает точки 1 и z в положительном направлении и не петляет −1.Серьезно Икс, у нас есть

${\displaystyle P_{s}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \theta \right)^{s}d\theta ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{1}\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}(2t-1)\right)^{s}{\frac {dt}{\sqrt {t(1-t)}}},\qquad s\in \mathbb {C} }$

Лежандр функционирует как персонажи

Реальное интегральное представление ${\displaystyle P_{s}}$ очень полезны при изучении гармонического анализа на ${\displaystyle L^{1}(G//K)}$ куда ${\displaystyle G//K}$ это двойное смежное пространство из ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$ (увидеть Зональная сферическая функция ). Собственно преобразование Фурье на ${\displaystyle L^{1}(G//K)}$ дан кем-то

${\displaystyle L^{1}(G//K)\ni f\mapsto {\hat {f}}}$

куда

${\displaystyle {\hat {f}}(s)=\int _{1}^{\infty }f(x)P_{s}(x)dx,\qquad -1\leq \Re (s)\leq 0}$

Смотрите также

• Функция Феррерса

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 8». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 332. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. Г-Н  0167642. LCCN  65-12253.
• Курант, Ричард; Гильберт, Дэвид (1953), Методы математической физики, Том 1, Нью-Йорк: Interscience Publisher, Inc..
• Данстер, Т. М. (2010), «Лежандр и родственные функции», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, Г-Н  2723248
• Иванов, А. (2001) [1994], «Функция Лежандра», Энциклопедия математики, EMS Press
• Сноу, Честер (1952) [1942], Гипергеометрические функции и функции Лежандра с приложениями к интегральным уравнениям теории потенциала, Национальное бюро стандартов по прикладной математике, № 19, Вашингтон, округ Колумбия: Государственная типография США, Г-Н  0048145
• Уиттакер, Э. Т.; Уотсон, Г.Н. (1963), Курс современного анализа, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-58807-2

внешняя ссылка

• Функция Лежандра P на сайте функций Wolfram.
• Функция Лежандра Q на сайте функций Wolfram.
• Ассоциированная функция Лежандра P на сайте функций Wolfram.
• Ассоциированная функция Лежандра Q на сайте функций Wolfram.