Алгебра Лейбница - Leibniz algebra

В математика, а (справа) алгебра Лейбница, названный в честь Готфрид Вильгельм Лейбниц, иногда называемый Лодей алгебра, после Жан-Луи Лоде, это модуль L над коммутативным кольцом р с билинейным произведением [_, _], удовлетворяющим Лейбниц идентичность

${displaystyle [[a,b],c]=[a,[b,c]]+[[a,c],b].,}$

Другими словами, правое умножение на любой элемент c это происхождение. Если дополнительно скобка чередуется ([а, а] = 0), то алгебра Лейбница является Алгебра Ли. Действительно, в этом случае [а, б] = −[б, а] и тождество Лейбница эквивалентно тождеству Якоби ([а, [б, c]] + [c, [а, б]] + [б, [c, а]] = 0). Наоборот, любая алгебра Ли, очевидно, является алгеброй Лейбница.

В этом смысле алгебры Лейбница можно рассматривать как некоммутативное обобщение алгебр Ли. Исследование того, какие теоремы и свойства алгебр Ли до сих пор справедливы для алгебр Лейбница, является постоянной темой в литературе.^[1] Например, было показано, что Теорема Энгеля все еще верно для алгебр Лейбница^[2][3] и что также имеет место более слабая версия теоремы Леви-Мальцева.^[4]

Тензорный модуль, Т(V) любого векторного пространства V можно превратить в алгебру Лоде такую, что

${displaystyle [a_{1}otimes cdots otimes a_{n},x]=a_{1}otimes cdots a_{n}otimes xquad { ext{for }}a_{1},ldots ,a_{n},xin V.}$

Это свободная алгебра Лоде над V.

Алгебры Лейбница были открыты в 1965 г. А. Бло, который назвал их D-алгебрами. Они привлекли интерес после того, как Жан-Луи Лоде заметил, что классическая Граничное отображение Шевалле – Эйленберга во внешнем модуле алгебры Ли можно поднять до тензорного модуля, что дает новый цепной комплекс. Фактически этот комплекс определен для любой алгебры Лейбница. Гомология HL(L) этого цепного комплекса известен как Гомологии Лейбница. Если L является алгеброй Ли (бесконечных) матриц над ассоциативной р-алгебры A, то гомологии Лейбница L тензорная алгебра над Гомологии Хохшильда из А.

А Алгебра Зинбиеля это Кошул двойной понятие в алгебру Лейбница. Он имеет определяющую идентичность:

${displaystyle (acirc b)circ c=acirc (bcirc c)+acirc (ccirc b).}$

Примечания

1. Барнс, Дональд В. (июль 2011 г.). «Некоторые теоремы об алгебрах Лейбница». Коммуникации в алгебре. 39 (7): 2463–2472. Дои:10.1080/00927872.2010.489529.
2. Пацуракос, Александрос (26 ноября 2007 г.). «О нильпотентных свойствах алгебр Лейбница». Коммуникации в алгебре. 35 (12): 3828–3834. Дои:10.1080/00927870701509099.
3. Ш. А. Аюпов; Омиров Б.А. (1998). «Об алгебрах Лейбница». В Хакимджанов, Ю.; Goze, M .; Аюпов, Ш. (ред.). Алгебра и теория операторов Труды коллоквиума в Ташкенте, 1997 г.. Дордрехт: Спрингер. С. 1–13. ISBN  9789401150729.
4. Барнс, Дональд В. (30 ноября 2011 г.). «О теореме Леви для алгебр Лейбница». Бюллетень Австралийского математического общества. 86 (2): 184–185. arXiv:1109.1060. Дои:10.1017 / с0004972711002954.

Рекомендации

• Косманн-Шварцбах, Иветт (1996). «От алгебр Пуассона к алгебрам Герстенхабера». Annales de l'Institut Fourier. 46 (5): 1243–1274. Дои:10.5802 / aif.1547.
• Лодей, Жан-Луи (1993). "Некоммутативная версия некоммутативных песен Ли: les algèbres de Leibniz" (PDF). Enseign. Математика. Серия 2. 39 (3–4): 269–293.
• Лодей, Жан-Луи и Теймураз, Пирашвили (1993). «Универсальные обертывающие алгебры алгебр Лейбница и (ко) гомологии». Mathematische Annalen. 296 (1): 139–158. CiteSeerX  10.1.1.298.1142. Дои:10.1007 / BF01445099. S2CID  16865683.
• Блох, А. (1965). «Об одном обобщении понятия алгебры Ли». Докл. Акад. АН СССР. 165: 471–3.
• Блох, А. (1967). «Теория гомологии Картана-Эйленберга для обобщенного класса алгебр Ли». Докл. Акад. АН СССР. 175 (8): 824–6.
• Джумадильдаев, А.С .; Туленбаев, К. (2005). «Нильпотентность алгебр Зинбиля». J. Dyn. Система управления. 11 (2): 195–213. Дои:10.1007 / s10883-005-4170-1. S2CID  121944962.
• Гинзбург, В.; Капранов М. (1994). «Кошулевская двойственность для опер». Duke Math. J. 76: 203–273. arXiv:0709.1228. Дои:10.1215 / s0012-7094-94-07608-4. S2CID  115166937.