Точка Лемуана - Lemoine point

Не путать с Заповедник Лемуан-Пойнт.
Треугольник с медианами (синий), биссектрисами (зеленый) и симедианами (красный). Симедианы пересекаются в точке симедианы L, биссектрисы углов в точке стимулятор Я и медианы в центроид ГРАММ.

В симедианная точка, Точка Лемуана или же Точка поганки пересечение трех симмедианы (медианы отражены в соответствующих биссектрисах угла) треугольника.

Росс Хонсбергер назвал его существование «одной из жемчужин современной геометрии».[1]

в Энциклопедия центров треугольников симедианная точка появляется как шестая точка X (6).[2] Он лежит под открытым небом ортоцентроидный диск проколот в собственном центре и может быть в любой точке.[3]

Симедианная точка треугольника с длинами сторон а, б и c имеет однородный трилинейные координаты [а : б : c].[2]

Алгебраический способ найти симедианную точку - выразить треугольник тремя линейными уравнениями с двумя неизвестными, заданными уравнением гессе нормальные формы соответствующих строк. Решение этого сверхдетерминированная система найден метод наименьших квадратов дает координаты точки. Он также решает проблему оптимизации, чтобы найти точку с минимальной суммой квадратов расстояний от сторон.


В Точка Жергонна треугольника совпадает с симедианной точкой треугольника контактный треугольник.[4]

Симедианная точка треугольника ABC может быть построена следующим образом: пусть касательные линии описанной окружности ABC, проходящие через B и C, пересекаются в A ', и аналогично определяют B' и C '; тогда A'B'C '- это тангенциальный треугольник линии ABC, а прямые AA ', BB' и CC 'пересекаются в точке симедианы ABC.[5] Можно показать, что эти три линии встречаются в точке, используя Теорема Брианшона. Линия AA 'является симедианой, что можно увидеть, нарисовав круг с центром A' через точки B и C.[нужна цитата ]

Французский математик Эмиль Лемуан доказал существование симедианной точки в 1873 г., а Эрнст Вильгельм Гребе опубликовал статью об этом в 1847 году. Симон Антуан Жан Л'Уилье также отметил этот момент в 1809 году.[1]

По поводу продолжения неправильного тетраэдра см. симмедиан.

Рекомендации

  1. ^ а б Хонсбергер, Росс (1995), "Глава 7: Симмедианная точка", Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков, Вашингтон, округ Колумбия.: Математическая ассоциация Америки.
  2. ^ а б Энциклопедия центров треугольников, дата обращения 06.11.2014.
  3. ^ Брэдли, Кристофер Дж .; Смит, Джефф К. (2006), «Расположение центров треугольников», Форум Geometricorum, 6: 57–70.
  4. ^ Beban-Brkić, J .; Воленец, В .; Колар-Бегович, З .; Колар-Шупер, Р. (2013), "О точке Жергонна треугольника в изотропной плоскости", Rad Hrvatske Akademije Znanosti i Umjetnosti, 17: 95–106, МИСТЕР  3100227.
  5. ^ Если ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом при A, это утверждение необходимо изменить, отбросив ссылку на AA ', поскольку точка A' не существует.

внешняя ссылка