Конформная алгебра Ли - Lie conformal algebra

А Конформная алгебра Ли в некотором смысле является обобщением Алгебра Ли в том, что это тоже «алгебра Ли», хотя и в другом псевдотензор категория. Конформные алгебры Ли очень тесно связаны с вершинные алгебры и имеют множество приложений в других областях алгебры и интегрируемых систем.

Определение и связь с алгебрами Ли

Алгебра Ли определяется как векторное пространство с кососимметричный билинейный умножение, которое удовлетворяет Личность Якоби. В более общем смысле алгебра Ли - это объект, ${\displaystyle L}$ в категории векторные пространства (читать: ${\displaystyle \mathbb {C} }$-модули) с морфизм

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:L\otimes L\rightarrow L}$

который является кососимметричным и удовлетворяет тождеству Якоби. Таким образом, конформная алгебра Ли является объектом ${\displaystyle R}$ в категории ${\displaystyle \mathbb {C} [\partial ]}$-модули с морфизмом

${\displaystyle [\cdot _{\lambda }\cdot ]:R\otimes R\rightarrow \mathbb {C} [\lambda ]\otimes R}$

называется лямбда-скобкой, которая удовлетворяет модифицированным версиям билинейности, кососимметрии и тождества Якоби:

${\displaystyle [\partial a_{\lambda }b]=-\lambda [a_{\lambda }b],[a_{\lambda }\partial b]=(\lambda +\partial )[a_{\lambda }b],}$

${\displaystyle [a_{\lambda }b]=-[b_{-\lambda -\partial }a],\,}$

${\displaystyle [a_{\lambda }[b_{\mu }c]]-[b_{\mu }[a_{\lambda }c]]=[[a_{\lambda }b]_{\lambda +\mu }c].\,}$

Можно видеть, что если убрать все лямбды, мю и частичные числа из скобок, мы получим просто определение алгебры Ли.

Примеры конформных алгебр Ли

Простым и очень важным примером конформной алгебры Ли является конформная алгебра Вирасоро. Над ${\displaystyle \mathbb {C} [\partial ]}$ он создается одним элементом ${\displaystyle L}$ с лямбда-скобкой, заданной

${\displaystyle [L_{\lambda }L]=(2\lambda +\partial )L.\,}$

Фактически, Вакимото показал, что любая конформная алгебра Ли с лямбда-скобкой, удовлетворяющая тождеству Якоби на одной образующей, на самом деле является конформной алгеброй Вирасоро.

Классификация

Было показано, что любая конечно порожденная (как ${\displaystyle \mathbb {C} [\partial ]}$-модуль) простая конформная алгебра Ли изоморфна либо конформной алгебре Вирасоро, либо конформной алгебре тока, либо их полупрямому произведению.

Существуют также частичные классификации бесконечных подалгебр в ${\displaystyle {\mathfrak {gc}}_{n}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {cend}}_{n}}$.

Обобщения

Использование в интегрируемых системах и отношение к вариационному исчислению

Рекомендации

• Виктор Кац, «Вершинные алгебры для начинающих». Серия университетских лекций, 10. Американское математическое общество, 1998. viii + 141 с. ISBN  978-0-8218-0643-2