Линейный континуум - Linear continuum

в математический поле теория порядка, а континуум или же линейный континуум является обобщением реальная линия.

Формально линейный континуум - это линейно упорядоченный набор S более одного элемента, который плотно заказанный, т.е. между любыми двумя различными элементами есть еще один (и, следовательно, бесконечно много других), и полный, т.е. в котором "отсутствуют пробелы" в том смысле, что каждый непустой подмножество с верхняя граница имеет наименьшая верхняя граница. Более символично:

1. S имеет свойство наименьшей верхней границы, и
2. Для каждого Икс в S и каждый у в S с Икс < у, Существует z в S такой, что Икс < z < у

А набор имеет свойство наименьшей верхней границы, если каждое непустое подмножество ограниченного сверху множества имеет наименьшую верхнюю границу. Линейные континуумы ​​особенно важны в области топология где их можно использовать для проверки того, заказанный набор Учитывая топология заказа является связаны или нет.^[1]

В отличие от стандартной вещественной прямой, линейный континуум может быть ограничен с любой стороны: например, любая (действительная) закрытый интервал является линейным континуумом.

Примеры

• Заказанный набор действительные числа, р, с его обычным порядок является линейным континуумом и является типичным примером. Свойство b) тривиально, а свойство a) просто переформулировка аксиома полноты.

Примеры помимо реальных чисел:

• наборы, которые порядково-изоморфный к набору действительных чисел, например реальным открытый интервал, и то же самое с полуоткрытыми промежутками (обратите внимание, что это не промежутки в указанном выше смысле)
• то аффинно расширенная система действительных чисел и порядко-изоморфные множества, например единичный интервал
• набор действительных чисел с добавлением только + ∞ или только −∞, а также наборы, изоморфные по порядку, например полуоткрытый интервал
• то длинная линия
• Набор я × я (где × обозначает Декартово произведение и я = [0, 1]) в лексикографический порядок является линейным континуумом. Свойство б) тривиально. Чтобы проверить свойство а), определим отображение π₁ : я × я → я к

π₁ (Икс, у) = Икс

Эта карта известна как карта проекции. Карта проекции непрерывный (с уважением к топология продукта на я × я) и является сюръективный. Позволять А быть непустым подмножеством я × я которое ограничено сверху. Учитывать π₁(А). С А ограничено сверху, π₁(А) также должна быть ограничена сверху. С, π₁(А) является подмножеством я, он должен иметь наименьшую верхнюю границу (поскольку я имеет свойство наименьшей верхней границы). Следовательно, мы можем позволить б быть точной верхней границей π₁(А). Если б принадлежит π₁(А), тогда б × я пересечется А сказать б × c для некоторых c ∈ я. Обратите внимание, что с б × я имеет то же самое тип заказа из я, набор (б × я) ∩ А действительно будет иметь наименьшую верхнюю границу б × c ', что является искомой точной верхней оценкой для А.

Если б не принадлежит π₁(А), тогда б × 0 - точная верхняя грань А, если d < б, и d × е является верхней границей А, тогда d будет меньшей верхней границей π₁(А) чем б, что противоречит уникальному свойству б.

Не примеры

• Заказанный набор Q из рациональное число не является линейным континуумом. Даже если свойство b) выполняется, свойство a) - нет. Рассмотрим подмножество

А = {Икс ∈ Q | Икс < √2}

множества рациональных чисел. Хотя это множество ограничено сверху любым рациональным числом, большим, чем √2 (например, 3), у него нет наименьшая верхняя граница в рациональных числах.^[2] (В частности, для любой рациональной верхней границы р > √2, р/2 + 1/р является более близкой рациональной верхней границей; подробности на Методы вычисления квадратных корней § Вавилонский метод.)

• Упорядоченный набор неотрицательных целые числа со своим обычным порядком не является линейным континуумом. Свойство а) выполнено (пусть А - подмножество ограниченного сверху множества неотрицательных целых чисел. потом А является конечный поэтому он имеет максимум, и этот максимум является желаемой наименьшей верхней границей А). С другой стороны, свойство b) - нет. В самом деле, 5 является неотрицательным целым числом, как и 6, но не существует неотрицательного целого числа, которое находится строго между ними.
• Заказанный набор А ненулевых действительных чисел

А = (−∞, 0) ∪ (0, +∞)

не является линейным континуумом. Свойство b) выполняется тривиально. Однако если B это набор отрицательных действительных чисел:

B = (−∞, 0)

тогда B это подмножество А которое ограничено сверху (любым элементом из А больше 0; например 1), но не имеет точной верхней границы в B. Обратите внимание, что 0 не является ограничением для B поскольку 0 не является элементом А.

• Позволять Z₋ обозначим множество отрицательных целых чисел и пусть А = (0, 5) ∪ (5, + ∞). Позволять

S = Z₋ ∪ А.

потом S не удовлетворяет ни свойству а), ни свойству б). Доказательство аналогично предыдущим примерам.

Топологические свойства

Хотя линейные континуумы ​​важны для изучения заказанные наборы, у них есть приложения в математической области топология. Фактически, мы докажем, что упорядоченное множество в топология заказа является связаны тогда и только тогда, когда это линейный континуум. Мы докажем одно утверждение, а второе оставим в качестве упражнения. (Мункрес объясняет вторую часть доказательства в ^[3])

Теорема

Позволять Икс быть упорядоченным множеством в топологии порядка. Если Икс подключен, то Икс является линейным континуумом.

Доказательство:

Предположим, что Икс и у являются элементами Икс с Икс < у. Если не существует z в Икс такой, что Икс < z < урассмотрим наборы:

А = (−∞, у)

B = (Икс, +∞)

Эти наборы непересекающийся (Если а в А, а < у так что если а в B, а > Икс и а < у что невозможно по предположению), непустой (Икс в А и у в B) и открыто (в порядковой топологии), а их союз является Икс. Это противоречит связности Икс.

Теперь докажем свойство наименьшей верхней оценки. Если C это подмножество Икс ограниченный сверху и не имеющий точной верхней границы, пусть D быть союзом всех открытые лучи формы (б, + ∞), где b - оценка сверху для C. потом D открыто (так как это объединение открытых множеств), и закрыто (если а не в D, тогда а < б для всех верхних оценок б из C так что мы можем выбрать q > а такой, что q в C (если нет такого q существуют, а точная верхняя граница C), то открытый интервал содержащий а можно выбрать, что не пересекается D). С D непусто (существует более одной верхней границы D если бы была ровно одна верхняя граница s, s будет наименьшей верхней границей. Тогда если б₁ и б₂ две верхние границы D с б₁ < б₂, б₂ будет принадлежать D), D и его дополнение вместе образуют разделение на Икс. Это противоречит связности Икс.

Приложения теоремы

1. Поскольку заказанный набор А = (−∞, 0) U (0, + ∞) не является линейным континуумом, он несвязен.

2. Применяя только что доказанную теорему, мы получаем, что р связано следующим образом. Фактически любой интервал (или луч) в р тоже связано.

3. Набор целых чисел не является линейным континуумом и поэтому не может быть связан.

4. Фактически, если упорядоченное множество в топологии порядка является линейным континуумом, оно должно быть связным. Поскольку любой интервал в этом множестве также является линейным континуумом, отсюда следует, что это пространство локально связанный поскольку у него есть основа состоящий полностью из связанных множеств.

5. Для примера топологическое пространство это линейный континуум, см. длинная линия.

Смотрите также

• Аксиома Кантора-Дедекинда
• Топология заказа
• Наименьшее свойство верхней границы
• Общий заказ

Рекомендации

1. Мункрес, Джеймс (2000). Топология, 2-е изд.. Pearson Education. С. 31, 153. ISBN  0-13-181629-2.
2. Харди, Г. (1952). Курс чистой математики, 10-е изд.. Издательство Кембриджского университета. С. 11–15, 24–31. ISBN  0-521-09227-2.
3. Мункрес, Джеймс (2000). Топология, 2-е изд.. Pearson Education. С. 153–154. ISBN  0-13-181629-2.