Линейность дифференцирования - Linearity of differentiation

В исчисление, то производная любой линейная комбинация из функции равняется той же линейной комбинации производных функций;^[1] это свойство известно как линейность дифференцирования, то правило линейности,^[2] или правило суперпозиции для дифференциации.^[3] Это фундаментальное свойство производной, заключающее в одном правиле два более простых правила дифференцирования: правило сумм (производная суммы двух функций есть сумма производных) и правило постоянного множителя (производная постоянного кратного функции является таким же постоянным кратным производной).^[4]^[5] Таким образом, можно сказать, что акт дифференциации линейный, или дифференциальный оператор это линейный оператор.^[6]

Утверждение и вывод

Позволять $ж$ и $г$ быть функциями, с $α$ и $β$ константы. Теперь рассмотрим:

{ Displaystyle { гидроразрыва { mbox {d}} {{ mbox {d}} x}} ( альфа cdot f (x) + бета cdot g (x))}

Посредством правило сумм при дифференцировании, это:

{ displaystyle { frac { mbox {d}} {{ mbox {d}} x}} ( alpha cdot f (x)) + { frac { mbox {d}} {{ mbox { d}} x}} ( beta cdot g (x))}

Посредством правило постоянного фактора в дифференциации, это сводится к:

{ Displaystyle альфа CDOT F '(х) + бета CDOT G' (х)}

Это, в свою очередь, приводит к:

{ displaystyle { frac { mbox {d}} {{ mbox {d}} x}} ( alpha cdot f (x) + beta cdot g (x)) = alpha cdot f ' (х) + бета cdot g '(х)}

Опуская кронштейны, это часто записывается как:

{ Displaystyle ( альфа cdot е + бета cdot g) '= альфа cdot f' + бета cdot g '}

использованная литература

^ Бланк, Брайан Э .; Кранц, Стивен Джордж (2006), Исчисление: одна переменная, том 1, Springer, стр. 177, ISBN 9781931914598.
^ Стрэнг, Гилберт (1991), Исчисление, Том 1, SIAM, стр. 71–72, ISBN 9780961408824.
^ Строян, К. Д. (2014), Исчисление с использованием Mathematica, Academic Press, стр. 89, ISBN 9781483267975.
^ Эстеп, Дональд (2002), «20.1 Линейные комбинации функций», Практический анализ в одной переменной, Тексты для бакалавриата по математике, Springer, стр. 259–260, ISBN 9780387954844.
^ Цорн, Пол (2010), Понимание реального анализа, CRC Press, стр. 184, г. ISBN 9781439894323.
^ Гоккенбах, Марк С. (2011), Конечномерная линейная алгебра, Дискретная математика и ее приложения, CRC Press, стр. 103, ISBN 9781439815649.