Список конечномерных алгебр Николса - List of finite-dimensional Nichols algebras - Wikipedia

В математике Алгебра николса это Алгебра Хопфа в плетеная категория присвоено объекту V в этой категории (например, плетеное векторное пространство ). Алгебра Николса является фактором тензорная алгебра из V наслаждаясь определенным универсальная собственность и обычно является бесконечномерным. Алгебры Николса естественным образом появляются в любой точечной алгебре Хопфа и позволяют их классифицировать в важных случаях.[1] Наиболее известными примерами алгебр Николса являются Запчасти Borel бесконечномерного квантовые группы когда q не является корнем из единицы, и первыми примерами конечномерных алгебр Николса являются Запчасти Borel ядра Фробениуса – Люстига (малая квантовая группа) когда q является корнем единства.

В следующей статье перечислены все известные конечномерные алгебры Николса. куда это Модуль Йеттера – Дринфельда над конечной группой , где группа порождается носителем . Подробнее об алгебрах Николса см. Алгебра николса.

  • Есть два основных случая:
    • абелевский, что означает плетен по диагонали .
    • неабелевский.
  • В классифицировать - количество неприводимых слагаемых в полупростом модуле Йеттера – Дринфельда .
  • В неприводимые слагаемые каждый связан с класс сопряженности и неприводимое представление централизатора .
  • Для любой алгебры Николса существует [2] прикрепил
    • обобщенный корневая система и группоид Вейля. Они классифицируются в.[3]
    • Особенно несколько диаграмм Дынкина (для неэквивалентных типов камер Вейля). Каждая диаграмма Дынкина имеет одну вершину на неприводимое и ребра в зависимости от их скрученных коммутаторов в алгебре Николса.
  • В Ряд Гильберта градуированной алгебры дано. Наблюдение состоит в том, что в каждом случае он разлагается на многочлены . Мы приводим только ряд Гильберта и размерность алгебры Николса в характеристике .

Обратите внимание, что алгебра Николса зависит только от скрученного векторного пространства и поэтому могут быть реализованы во многих различных группах. Иногда встречаются две или три алгебры Николса с разными и неизоморфная алгебра Николса, которые тесно связаны (например, скручивания коциклов друг друга). Они даны разными классами сопряженности в одном столбце.

Состояние классификации

(по состоянию на 2015 год)

Установленные результаты классификации

  • Конечномерные диагональные алгебры Николса над комплексными числами были классифицированы Хеккенбергером в.[4] Случай произвольной характеристики - это продолжающаяся работа Хеккенбергера, Ванга.[5]
  • Конечномерные алгебры Николса полупростых модулей Йеттера – Дринфельда ранга> 1 над конечными неабелевыми группами (порожденными носителем) были классифицированы Хеккенбергером и Вендрамином в.[6]

Отрицательные критерии

Случай ранга 1 (неприводимый модуль Йеттера – Дринфельда) над неабелевой группой все еще в значительной степени открыт, и известно несколько примеров.

Андрускевич и другие добились большого прогресса в поиске блоков (например, диагональных), которые привели бы к бесконечномерным алгебрам Николса. По состоянию на 2015 год известные группы нет допускающие конечномерные алгебры Николса, являются [7][8]

  • за чередующиеся группы [9]
  • за симметричные группы кроме краткого списка примеров[9]
  • немного группа лиева типа такие как большинство [10] и большинство унипотентных классов в [11]
  • все спорадические группы за исключением короткого списка возможностей (соответственно классов сопряженности в нотации ATLAS), которые все являются реальными или j = 3-квазиреальный:
    • ...для Группа Фишера классы
    • ...для группа маленьких монстров B классы
    • ...для группа монстров M классы

Обычно большое количество классов сопряженности п.в. типа D («недостаточно коммутативно»), в то время как остальные имеют тенденцию иметь достаточное количество абелевых подкатегорий и могут быть исключены при их рассмотрении. Некоторые случаи приходится делать вручную. Обратите внимание, что открытые случаи имеют тенденцию иметь очень маленькие централизаторы (обычно циклические) и представления χ (обычно одномерное знаковое представление). Существенным исключением являются классы сопряженности порядка 16, 32, имеющие в качестве централизаторов p-группы порядка 2048 соотв. 128 и в настоящее время нет ограничений на χ.

Над абелевыми группами

Конечномерные диагональные алгебры Николса над комплексными числами были классифицированы Хеккенбергером в [4] с точки зрения матрицы плетения , точнее данные . Малые квантовые группы особый случай , но есть несколько исключительных примеров с простыми числами 2,3,4,5,7.

Недавно был достигнут прогресс в понимании других примеров как исключительных алгебр Ли и супериалгебр Ли в конечной характеристике.

Над неабелевой группой ранг> 1

Алгебры Николса из групп Кокстера

Для любой конечной системы Кокстера алгебра Николса над классом (ами) сопряженности отражений изучалась в [12] (отражения на корнях разной длины не сопряжены, см. четвертый пример у товарища). Таким образом они открыли следующие первые алгебры Николса над неабелевыми группами:

Алгебра Николса над S3.pngАлгебра Николса над S4.pngАлгебра Николса над S5.pngАлгебра Николса над D4.png
Ранг, Тип корневой системы [2]
Размер
Размерность алгебры (ей) Николса
Ряд Гильберта
Наименьшая реализующая группаСимметричная группа Симметричная группа Симметричная группа Группа диэдра
... и классы сопряженности
Источник[12][12][13][12][14][12]
КомментарииАлгебры Кирилова – ФоминаЭта наименьшая неабелева алгебра Николса ранга 2 имеет случай в классификации.[6][15] Его можно построить как наименьший пример бесконечной серии из , видеть.[16]

Дело диагональная алгебра Николса ранга 1 размерности 2.

Другие алгебры Николса ранга 1

Алгебра Николса над Aff5.pngАлгебра Николса над Aff7.png
Ранг, Тип корневой системы [2]
Размер
Размерность алгебры (ей) Николса
Ряд Гильберта
Наименьшая реализующая группаСпециальная линейная группа расширение переменной группы Аффинная линейная группа Аффинная линейная группа
... и классы сопряженности
Источник[17][18][13]
КомментарииСуществует алгебра Николса ранга 2, содержащая эту алгебру НиколсаЕдинственный пример со многими кубическими (но не многими квадратичными) отношениями.Аффинные стойки

Алгебры Николса ранга 2 типа Гамма-3

Эти алгебры Николса были открыты при классификации Хеккенбергера и Вендрамина.[19]

Алгебра Николса HV1.pngАлгебра Николса HV2.pngтолько в характеристике 2 Алгебра Николса HV3.png
Ранг, Тип корневой системы [2]
Размер соотв. соотв.
Размерность алгебры (ей) Николса
Ряд Гильберта
Наименьшая реализующая группа и класс сопряженности
... и классы сопряженности
Источник[19][19][19]
КомментарииЕдинственный пример с двумерным неприводимым представлением Существует алгебра Николса ранга 3, расширяющая эту алгебру НиколсаТолько в характеристике 2. Имеет корневую систему нелиева типа с 6 корнями.

Алгебра Николса ранга 2 типа Гамма-4

Алгебра Николса G4.png Эта алгебра Николса была открыта при классификации Хеккенбергера и Вендрамина.[19]

Корневая система
Размер
Размерность алгебры Николса
Ряд Гильберта
Наименьшая реализующая группа (полудиэдральная группа)
... и класс сопряженности
КомментарииОбе алгебры Николса ранга 1, содержащиеся в этой алгебре Николса, разлагаются над их соответствующим носителем: левый узел на алгебру Николса над группой Кокстера , правый узел диагональной алгебры Николса типа .

Алгебра Николса ранга 2, тип T

Алгебра Николса T.png Эта алгебра Николса была открыта при классификации Хеккенбергера и Вендрамина.[19]

Корневая система
Размер
Размерность алгебры Николса
Ряд Гильберта
Наименьшая реализующая группа
... и класс сопряженности
КомментарииАлгебра Николса ранга 1, содержащаяся в этой алгебре Николса, неприводима над своим носителем. и можно найти выше.

Алгебра Николса ранга 3 с гамма-3

Алгебра Николса HV2 + 1.png Эта алгебра Николса была последней алгеброй Николса, открытой во время классификации Хеккенбергера и Вендрамина.[6]

Корневая системаРанг 3 Число 9 с 13 корнями [3]
Размер соотв.
Размерность алгебры Николса
Ряд Гильберта
Наименьшая реализующая группа
... и класс сопряженности
КомментарииАлгебра Николса ранга 2, порожденная двумя крайними левыми узлами, имеет тип и можно найти выше. Алгебра Николса ранга 2, порожденная двумя крайними правыми узлами, является диагональю типа или же .

Алгебры Николса из складывания диаграмм

Следующие семейства алгебр Николса были построены Лентнером с использованием сворачивания диаграмм:[16] четвертый пример, появляющийся только в характеристике 3, был обнаружен при классификации Хеккенбергера и Вендрамина.[6]

Построение начинается с известной алгебры Николса (здесь диагональные, относящиеся к квантовым группам) и дополнительного автоморфизма диаграммы Дынкина. Следовательно, два основных случая - это то, заменяет ли этот автоморфизм двумя несвязанными копиями или является собственным диаграммным автоморфизмом связной диаграммы Дынкина. Полученная корневая система складывается / ограничивается исходной корневой системой.[20] По построению образующие и соотношения известны из диагонального случая.

Алгебра Николса L An.pngNichols Algebra L Dn.pngАлгебра Николса L E n.pngтолько характеристика 3

Алгебра Николса L Bn.png

Ранг, Тип корневой системы [2]
Построенная из этой диагональной алгебры Николя с в характеристике 3.
Размер
Размерность алгебры (ей) Николса
Ряд ГильбертаТо же, что и соответствующая диагональная алгебра Николса
Наименьшая реализующая группаОсобая группа (соответственно, почти особенный) с элементы, за исключением того требуется аналогичная группа с большим центром порядка .
Источник[16][6]
КомментарииПредположительно складка диагональной алгебры Николса типа с который в исключительных случаях появляется в характеристике 3.

Следующие две получаются собственными автоморфизмами связных диаграмм Дынкина

Алгебра Николса L Cn.pngАлгебра Николса L F4.png
Ранг, Тип корневой системы [2]
Построенная из этой диагональной алгебры Николя с
Размер
Размерность алгебры (ей) Николса
Ряд ГильбертаТо же, что и соответствующая диагональная алгебра НиколсаТо же, что и соответствующая диагональная алгебра Николса

Наименьшая реализующая группаГруппа заказа с большим центром заказа соотв. (за даже соотв. странный)Группа заказа с большим центром заказа

т.е.

... и класс сопряженности
Источник[16]

Обратите внимание, что есть еще несколько складок, например а также некоторые не лиева типа, но они нарушают условие, что носитель порождает группу.

Плакат со всеми известными алгебрами Николса

NicholsPlakat.png

(Саймон Лентнер, Университет Гамбурга, пожалуйста, не стесняйтесь писать комментарии / исправления / пожелания по этому поводу: simon.lentner на uni-hamburg.de)

Рекомендации

  1. ^ Андрускевич, Шнайдер: Остроконечные алгебры Хопфа, Новые направления в алгебрах Хопфа, 1–68, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 43, Cambridge Univ. Press, Кембридж, 2002.
  2. ^ а б c d е ж Андрускевич, Хеккенбергер, Шнайдер: Алгебра Николса полупростого модуля Йеттера – Дринфельда, Амер. J. Math., Т. 132, нет. 6, декабрь 2010 г., стр. 1493–1547.
  3. ^ а б Кунц, Хеккенбергер: Конечные группоиды Вейля, Препринт (2010) arXiv:1008.5291, чтобы появиться в J. Reine Angew. Математика. (2013)
  4. ^ а б Хеккенбергер: Классификация арифметических корневых систем, Adv. Математика.220 (2009), 59–124.
  5. ^ Хеккенбергер, Ван: Алгебры Николса ранга 2 диагонального типа над полями положительной характеристики, СИГМА 11 (2015), 011, 24 стр.
  6. ^ а б c d е Хеккенбергер, Вендрамин: Классификация алгебр Николса полупростых модулей Йеттера – Дринфельда над неабелевыми группами , Препринт (2014) arXiv:1412.0857
  7. ^ Андрускевич, Фантино, Грана, Вендрамин: Об алгебрах Николса, связанных с простыми стойками, 2010.
  8. ^ Андрускевич, Фантино, Грана, Вендрамин: Точечные алгебры Хопфа над спорадическими простыми группами, 2010.
  9. ^ а б Андрускевич, Фантино, Грана, Вендрамин: Конечномерные точечные алгебры Хопфа с знакопеременными группами тривиальны., 2010.
  10. ^ Андрускевич, Карновале, Гарсия: Конечномерные точечные алгебры Хопфа над конечными простыми группами лиева типа I. Неполупростые классы в PSL (n, q), Препринт (2013), arXiv:1312.6238
  11. ^ Андрускевич, Карновале, Гарсия: Конечномерные точечные алгебры Хопфа над конечными простыми группами лиева типа II. Унипотентные классы в симплектических группах, Препринт (2013), arXiv:1312.6238
  12. ^ а б c d е Шнайдер, Милински: Алгебры Николса над группами Кокстера, 2000.
  13. ^ а б Андрускевич, Грана: От стоек к точечным алгебрам Хопфа, Adv. по математике. 178, т. 2, 177–243 (2003).
  14. ^ Фомин, Кирилов: Квадратичные алгебры, элементы Данкла и исчисление Шуберта, 1999.
  15. ^ Хеккенбергер, Шнайдер: Алгебры Николса над группами с конечной корневой системой ранга 2 I, 2010.
  16. ^ а б c d Лентнер: Диссертация (2012) и Новые алгебры Николса большого ранга над неабелевыми группами с коммутаторной подгруппой Z_2, Journal of Algebra 419 (2014), стр. 1–33.
  17. ^ Грана: Об алгебрах Николса малой размерности, Новые тенденции в теории алгебры Хопфа; Contemp. Математика. 267 (2000), 111–136
  18. ^ Хеккенбергер, Лохманн, Вендрамин: Плетеные стойки, действия Гурвица и алгебры Николса со многими кубическими отношениями, Преобразовать. Группы 17 (2012), вып. 1, 157–194
  19. ^ а б c d е ж Хеккенбергер, Вендрамин: Классификация алгебр Николса над группами с конечной корневой системой ранга два , Препринт (2013) arXiv:1311.2881
  20. ^ Кунц, Лентнер: Симплициальный комплекс алгебр Николса, Препринт (2015) arXiv:1503.08117.