Список конечномерных алгебр Николса - List of finite-dimensional Nichols algebras - Wikipedia

В математике Алгебра николса это Алгебра Хопфа в плетеная категория присвоено объекту V в этой категории (например, плетеное векторное пространство ). Алгебра Николса является фактором тензорная алгебра из V наслаждаясь определенным универсальная собственность и обычно является бесконечномерным. Алгебры Николса естественным образом появляются в любой точечной алгебре Хопфа и позволяют их классифицировать в важных случаях.^[1] Наиболее известными примерами алгебр Николса являются Запчасти Borel ${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {g}})^{+}}$ бесконечномерного квантовые группы когда q не является корнем из единицы, и первыми примерами конечномерных алгебр Николса являются Запчасти Borel ${\displaystyle u_{q}({\mathfrak {g}})^{+}}$ ядра Фробениуса – Люстига (малая квантовая группа) когда q является корнем единства.

В следующей статье перечислены все известные конечномерные алгебры Николса. ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)}$ куда ${\displaystyle V}$ это Модуль Йеттера – Дринфельда над конечной группой ${\displaystyle G}$, где группа порождается носителем ${\displaystyle V}$. Подробнее об алгебрах Николса см. Алгебра николса.

• Есть два основных случая:
  • ${\displaystyle G}$ абелевский, что означает ${\displaystyle V}$ плетен по диагонали ${\displaystyle x_{i}\otimes x_{j}\mapsto q_{ij}x_{j}\otimes x_{i}}$.
  • ${\displaystyle G}$ неабелевский.
• В классифицировать - количество неприводимых слагаемых ${\displaystyle V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}}$ в полупростом модуле Йеттера – Дринфельда ${\displaystyle V}$.
• В неприводимые слагаемые ${\displaystyle V_{i}={\mathcal {O}}_{[g]}^{\chi }}$ каждый связан с класс сопряженности ${\displaystyle [g]\subset G}$ и неприводимое представление ${\displaystyle \chi }$ централизатора ${\displaystyle \operatorname {Cent} (g)}$.
• Для любой алгебры Николса существует ^[2] прикрепил
  • обобщенный корневая система и группоид Вейля. Они классифицируются в.^[3]
  • Особенно несколько диаграмм Дынкина (для неэквивалентных типов камер Вейля). Каждая диаграмма Дынкина имеет одну вершину на неприводимое ${\displaystyle V_{i}}$ и ребра в зависимости от их скрученных коммутаторов в алгебре Николса.
• В Ряд Гильберта градуированной алгебры ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)}$ дано. Наблюдение состоит в том, что в каждом случае он разлагается на многочлены ${\displaystyle (n)_{t}:=1+t+t^{2}+\cdots +t^{n-1}}$. Мы приводим только ряд Гильберта и размерность алгебры Николса в характеристике ${\displaystyle 0}$.

Обратите внимание, что алгебра Николса зависит только от скрученного векторного пространства ${\displaystyle V}$ и поэтому могут быть реализованы во многих различных группах. Иногда встречаются две или три алгебры Николса с разными ${\displaystyle V}$ и неизоморфная алгебра Николса, которые тесно связаны (например, скручивания коциклов друг друга). Они даны разными классами сопряженности в одном столбце.

Состояние классификации

(по состоянию на 2015 год)

Установленные результаты классификации

• Конечномерные диагональные алгебры Николса над комплексными числами были классифицированы Хеккенбергером в.^[4] Случай произвольной характеристики - это продолжающаяся работа Хеккенбергера, Ванга.^[5]
• Конечномерные алгебры Николса полупростых модулей Йеттера – Дринфельда ранга> 1 над конечными неабелевыми группами (порожденными носителем) были классифицированы Хеккенбергером и Вендрамином в.^[6]

Отрицательные критерии

Случай ранга 1 (неприводимый модуль Йеттера – Дринфельда) над неабелевой группой все еще в значительной степени открыт, и известно несколько примеров.

Андрускевич и другие добились большого прогресса в поиске блоков (например, диагональных), которые привели бы к бесконечномерным алгебрам Николса. По состоянию на 2015 год известные группы нет допускающие конечномерные алгебры Николса, являются ^[7][8]

• за чередующиеся группы ${\displaystyle \mathbb {A} _{n\geq 5}}$ ^[9]
• за симметричные группы ${\displaystyle \mathbb {S} _{n\geq 6}}$ кроме краткого списка примеров^[9]
• немного группа лиева типа такие как большинство ${\displaystyle PSL_{n}(\mathbb {F} _{q})}$^[10] и большинство унипотентных классов в ${\displaystyle Sp_{2n}(\mathbb {F} _{q})}$^[11]
• все спорадические группы за исключением короткого списка возможностей (соответственно классов сопряженности в нотации ATLAS), которые все являются реальными или j = 3-квазиреальный:
  • ...для Группа Фишера ${\displaystyle Fi_{22}\;}$ классы ${\displaystyle 22A,22B\;}$
  • ...для группа маленьких монстров B классы ${\displaystyle 16C,\;16D,\;32A,\;32B,\;32C,\;32D,\;34A,\;46A,\;46B\;}$
  • ...для группа монстров M классы ${\displaystyle 32A,\;32B,\;46A,\;46B,\;92A,\;92B,\;94A,\;94B\;}$

Обычно большое количество классов сопряженности п.в. типа D («недостаточно коммутативно»), в то время как остальные имеют тенденцию иметь достаточное количество абелевых подкатегорий и могут быть исключены при их рассмотрении. Некоторые случаи приходится делать вручную. Обратите внимание, что открытые случаи имеют тенденцию иметь очень маленькие централизаторы (обычно циклические) и представления χ (обычно одномерное знаковое представление). Существенным исключением являются классы сопряженности порядка 16, 32, имеющие в качестве централизаторов p-группы порядка 2048 соотв. 128 и в настоящее время нет ограничений на χ.

Над абелевыми группами

Конечномерные диагональные алгебры Николса над комплексными числами были классифицированы Хеккенбергером в ^[4] с точки зрения матрицы плетения ${\displaystyle q_{ij}}$, точнее данные ${\displaystyle q_{ii},q_{ij}q_{ji}}$. Малые квантовые группы ${\displaystyle u_{q}({\mathfrak {g}})^{+}}$ особый случай ${\displaystyle q_{ij}=q^{(\alpha _{i},\alpha _{j})}}$, но есть несколько исключительных примеров с простыми числами 2,3,4,5,7.

Недавно был достигнут прогресс в понимании других примеров как исключительных алгебр Ли и супериалгебр Ли в конечной характеристике.

Над неабелевой группой ранг> 1

Алгебры Николса из групп Кокстера

Для любой конечной системы Кокстера ${\displaystyle (W,S)}$ алгебра Николса над классом (ами) сопряженности отражений изучалась в ^[12] (отражения на корнях разной длины не сопряжены, см. четвертый пример у товарища). Таким образом они открыли следующие первые алгебры Николса над неабелевыми группами:

Ранг, Тип корневой системы ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)}$ [2]	${\displaystyle A_{1}}$	${\displaystyle A_{1}}$	${\displaystyle A_{1}}$	${\displaystyle A_{2}}$
Размер ${\displaystyle V}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 10}$	${\displaystyle 2+2}$
Размерность алгебры (ей) Николса	${\displaystyle 12}$	${\displaystyle 576\;=24^{2}}$	${\displaystyle 8294400}$	${\displaystyle 64}$
Ряд Гильберта	${\displaystyle (2)_{t}^{2}(3)_{t}}$	${\displaystyle (2)_{t}^{2}(3)_{t}^{2}(4)_{t}^{2}}$	${\displaystyle (4)_{t}^{4}(5)_{t}^{2}(6)_{t}^{4}}$	${\displaystyle (2)_{t}^{4}(2)_{t^{2}}^{2}}$
Наименьшая реализующая группа	Симметричная группа ${\displaystyle \;\mathbb {S} _{3}}$	Симметричная группа ${\displaystyle \;\mathbb {S} _{4}}$	Симметричная группа ${\displaystyle \;\mathbb {S} _{5}}$	Группа диэдра ${\displaystyle \;\mathbb {D} _{4}}$
... и классы сопряженности	${\displaystyle {\mathcal {O}}_{(12)}^{-1}}$	${\displaystyle {\mathcal {O}}_{(1234)}^{-1},\quad {\mathcal {O}}_{(12)}^{-1},\quad {\mathcal {O}}_{(12)}^{-1\otimes \operatorname {sgn} }}$	${\displaystyle {\mathcal {O}}_{(12)}^{-1},\quad {\mathcal {O}}_{(12)}^{-1\otimes \operatorname {sgn} }}$	${\displaystyle {\mathcal {O}}_{b}^{\epsilon }\oplus {\mathcal {O}}_{a^{2}b}^{\epsilon },\quad {\mathcal {O}}_{b}^{sgn}\oplus {\mathcal {O}}_{a^{2}b}^{sgn}}$
Источник	[12]	[12][13]	[12][14]	[12]
Комментарии	Алгебры Кирилова – Фомина			Эта наименьшая неабелева алгебра Николса ранга 2 имеет случай ${\displaystyle \Gamma _{2}}$ в классификации.[6][15] Его можно построить как наименьший пример бесконечной серии ${\displaystyle A_{n}}$ из ${\displaystyle A_{n}\cup A_{n}}$, видеть.[16]

Дело ${\displaystyle \mathbb {S} _{2}\cong \mathbb {Z} _{2}}$ диагональная алгебра Николса ранга 1 ${\displaystyle u_{i}(A_{1})^{+}}$ размерности 2.

Другие алгебры Николса ранга 1

Ранг, Тип корневой системы ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)}$ [2]	${\displaystyle A_{1}}$	${\displaystyle A_{1}}$	${\displaystyle A_{1}}$	${\displaystyle A_{1}}$
Размер ${\displaystyle V}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 7}$
Размерность алгебры (ей) Николса	${\displaystyle 72}$	${\displaystyle 5,184}$	${\displaystyle 1,280}$	${\displaystyle 326,592}$
Ряд Гильберта	${\displaystyle (2)_{t}^{2}(3)_{t}(6)_{t}}$	${\displaystyle (6)_{t}^{4}(2)_{t^{2}}^{2}}$	${\displaystyle (4)_{t}^{4}(5)_{t}}$	${\displaystyle (6)_{t}^{6}(7)_{t}}$
Наименьшая реализующая группа	Специальная линейная группа ${\displaystyle SL_{2}(3)}$ расширение переменной группы ${\displaystyle \mathbb {A} _{4}}$		Аффинная линейная группа ${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}\rtimes \mathbb {Z} _{5}^{\times }}$	Аффинная линейная группа ${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}\rtimes \mathbb {Z} _{7}^{\times }}$
... и классы сопряженности	${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\end{pmatrix}}^{-1}}$	${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}^{\zeta _{6}}}$	${\displaystyle {\mathcal {O}}_{i\rtimes 2}^{-1},\quad {\mathcal {O}}_{i\rtimes 3}^{-1}}$	${\displaystyle {\mathcal {O}}_{i\rtimes 3}^{-1},\quad {\mathcal {O}}_{i\rtimes 5}^{-1}}$
Источник	[17]	[18]	[13]
Комментарии	Существует алгебра Николса ранга 2, содержащая эту алгебру Николса	Единственный пример со многими кубическими (но не многими квадратичными) отношениями.	Аффинные стойки

Алгебры Николса ранга 2 типа Гамма-3

Эти алгебры Николса были открыты при классификации Хеккенбергера и Вендрамина.^[19]

			только в характеристике 2
Ранг, Тип корневой системы ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)}$ [2]	${\displaystyle B_{2},B_{2}}$	${\displaystyle B_{2},B_{2}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-2\\-2&2\end{pmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-2\\-1&2\end{pmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-4\\-1&2\end{pmatrix}}}$
Размер ${\displaystyle V}$	${\displaystyle 3+2}$	${\displaystyle 3+1}$ соотв. ${\displaystyle 3+2}$	${\displaystyle 3+1}$ соотв. ${\displaystyle 3+2}$
Размерность алгебры (ей) Николса	${\displaystyle 2,304}$	${\displaystyle 10,368}$	${\displaystyle 2,239,488}$
Ряд Гильберта	${\displaystyle (2)_{t}^{2}(3)_{t}\cdot (2)_{t}^{2}}$	${\displaystyle (2)_{t}^{2}(3)_{t}\cdot (6)_{t}}$${\displaystyle \cdot (2)_{t^{2}}^{2}(3)_{t^{2}}\cdot (2)_{t^{3}}(6)_{t^{3}}}$
Наименьшая реализующая группа и класс сопряженности	${\displaystyle \mathbb {S} _{3}\times \mathbb {Z} _{2}}$	${\displaystyle \mathbb {S} _{3}\times \mathbb {Z} _{6}}$
... и классы сопряженности	${\displaystyle {\mathcal {O}}_{(12)}^{-1,1}\oplus {\mathcal {O}}_{\{z\}}^{1,\sigma _{2}}}$	${\displaystyle {\mathcal {O}}_{(12)}^{-1,\zeta _{6}}\oplus {\mathcal {O}}_{\{z\}}^{1,\zeta _{6}^{-1}}}$
Источник	[19]	[19]	[19]
Комментарии	Единственный пример с двумерным неприводимым представлением ${\displaystyle \sigma }$	Существует алгебра Николса ранга 3, расширяющая эту алгебру Николса	Только в характеристике 2. Имеет корневую систему нелиева типа с 6 корнями.

Алгебра Николса ранга 2 типа Гамма-4

Эта алгебра Николса была открыта при классификации Хеккенбергера и Вендрамина.^[19]

Корневая система	${\displaystyle B_{2}}$
Размер ${\displaystyle V}$	${\displaystyle 2+4}$
Размерность алгебры Николса	${\displaystyle 262,144\;=2^{18}}$
Ряд Гильберта	${\displaystyle (2)_{t}^{2}(2)_{t^{2}}\cdot (2)_{t}^{4}(2)_{t^{2}}^{2}\cdot (2)_{t^{2}}^{4}(2^{2})_{t^{4}}^{2}\cdot (2)_{t^{3}}^{2}(2)_{t^{6}}}$
Наименьшая реализующая группа	${\displaystyle {\tilde {\mathbb {D} }}_{8}}$ (полудиэдральная группа)
... и класс сопряженности	${\displaystyle {\mathcal {O}}_{[h]}^{-1}\oplus {\mathcal {O}}_{[g]}^{\zeta _{8}}}$
Комментарии	Обе алгебры Николса ранга 1, содержащиеся в этой алгебре Николса, разлагаются над их соответствующим носителем: левый узел на алгебру Николса над группой Кокстера ${\displaystyle \mathbb {D} _{4}}$, правый узел диагональной алгебры Николса типа ${\displaystyle A_{2}}$.

Алгебра Николса ранга 2, тип T

Эта алгебра Николса была открыта при классификации Хеккенбергера и Вендрамина.^[19]

Корневая система	${\displaystyle G_{2}}$
Размер ${\displaystyle V}$	${\displaystyle 1+4}$
Размерность алгебры Николса	${\displaystyle 80,621,568}$
Ряд Гильберта	${\displaystyle (6)_{t}\cdot (2)_{t}^{2}(3)_{t}(6)_{t}\cdot (2)_{t^{2}}^{2}(3)_{t^{2}}(6)_{t^{2}}\cdot (2)_{t^{3}}^{2}(3)_{t^{3}}(6)_{t^{3}}\cdot (6)_{t^{4}}\cdot (6)_{t^{5}}}$
Наименьшая реализующая группа	${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}\times SL_{2}(3)}$
... и класс сопряженности	${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\{z\}}^{\zeta _{6},\zeta _{6}^{-1}}\oplus {\mathcal {O}}_{\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\end{pmatrix}}^{1,-1}}$
Комментарии	Алгебра Николса ранга 1, содержащаяся в этой алгебре Николса, неприводима над своим носителем. ${\displaystyle SL_{2}(3)}$ и можно найти выше.

Алгебра Николса ранга 3 с гамма-3

Эта алгебра Николса была последней алгеброй Николса, открытой во время классификации Хеккенбергера и Вендрамина.^[6]

Корневая система	Ранг 3 Число 9 с 13 корнями [3]
Размер ${\displaystyle V}$	${\displaystyle 3+2+1}$ соотв. ${\displaystyle 3+1+1}$
Размерность алгебры Николса	${\displaystyle 1,671,768,834,048}$
Ряд Гильберта	${\displaystyle (2)_{t}^{2}(3)_{t}\cdot (6)_{t}\cdot (6)_{t}\cdot (2)_{t^{2}}^{2}(3)_{t^{2}}\cdot (6)_{t^{2}}\cdot (2)_{t^{3}}(6)_{t^{3}}\cdot (2)_{t^{3}}^{2}(3)_{t^{3}}}$${\displaystyle \cdot (2)_{t^{4}}(6)_{t^{4}}\cdot (2)_{t^{5}}(6)_{t^{5}}\cdot (2)_{t^{6}}^{2}(3)_{t^{6}}\cdot (6)_{t^{7}}\cdot (6)_{t^{8}}\cdot (6)_{t^{9}}}$
Наименьшая реализующая группа	${\displaystyle \mathbb {S} _{3}\times \mathbb {Z} _{6}\times \mathbb {Z} _{6}}$
... и класс сопряженности	${\displaystyle {\mathcal {O}}_{(12)}^{-1,\zeta _{6},1}\oplus {\mathcal {O}}_{\{z\}}^{1,\zeta _{6}^{-1},1}\oplus {\mathcal {O}}_{\{w\}}^{1,\zeta _{6},\zeta _{6}^{-1}}}$
Комментарии	Алгебра Николса ранга 2, порожденная двумя крайними левыми узлами, имеет тип ${\displaystyle \Gamma _{3}}$ и можно найти выше. Алгебра Николса ранга 2, порожденная двумя крайними правыми узлами, является диагональю типа ${\displaystyle A_{2}}$ или же ${\displaystyle A_{3}}$.

Алгебры Николса из складывания диаграмм

Следующие семейства алгебр Николса были построены Лентнером с использованием сворачивания диаграмм:^[16] четвертый пример, появляющийся только в характеристике 3, был обнаружен при классификации Хеккенбергера и Вендрамина.^[6]

Построение начинается с известной алгебры Николса (здесь диагональные, относящиеся к квантовым группам) и дополнительного автоморфизма диаграммы Дынкина. Следовательно, два основных случая - это то, заменяет ли этот автоморфизм двумя несвязанными копиями или является собственным диаграммным автоморфизмом связной диаграммы Дынкина. Полученная корневая система складывается / ограничивается исходной корневой системой.^[20] По построению образующие и соотношения известны из диагонального случая.

				только характеристика 3
Ранг, Тип корневой системы ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)}$ [2]	${\displaystyle A_{n},\;n\geq 2}$	${\displaystyle D_{n},\;n\geq 4}$	${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8}}$	${\displaystyle B_{n},\;n\geq 2}$
Построенная из этой диагональной алгебры Николя с ${\displaystyle q_{ij}=\pm 1}$	${\displaystyle A_{n}\times A_{n}}$	${\displaystyle D_{n}\times D_{n}}$	${\displaystyle E_{n}\times E_{n}}$	${\displaystyle B_{n}\times B_{n}}$ в характеристике 3.
Размер ${\displaystyle V}$	${\displaystyle 2+2+\cdots }$	${\displaystyle 2+2+\cdots }$	${\displaystyle 2+2+\cdots }$	${\displaystyle 2+2+\cdots }$
Размерность алгебры (ей) Николса	${\displaystyle \left(2^{n+1 \choose 2}\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(2^{n(n-1)}\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(2^{36}\right)^{2},\;\left(2^{63}\right)^{2},\;\left(2^{120}\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(3^{n(n-1)}2^{n}\right)^{2}}$
Ряд Гильберта	То же, что и соответствующая диагональная алгебра Николса
Наименьшая реализующая группа	Особая группа (соответственно, почти особенный) с ${\displaystyle 2^{n+1}}$ элементы, за исключением того ${\displaystyle D_{n},\;2|n}$ требуется аналогичная группа с большим центром порядка ${\displaystyle 2^{3}}$.
Источник	[16]			[6]
Комментарии				Предположительно складка диагональной алгебры Николса типа ${\displaystyle B_{n}}$ с ${\displaystyle q=\pm 1}$ который в исключительных случаях появляется в характеристике 3.

Следующие две получаются собственными автоморфизмами связных диаграмм Дынкина ${\displaystyle {^{2}}A_{2n-1},{^{2}}E_{6}}$

Ранг, Тип корневой системы ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)}$ [2]	${\displaystyle C_{n},\;n\geq 3}$	${\displaystyle F_{4}}$
Построенная из этой диагональной алгебры Николя с ${\displaystyle q_{ij}=\pm 1}$	${\displaystyle A_{2n-1}}$	${\displaystyle E_{6}}$
Размер ${\displaystyle V}$	${\displaystyle 1+2+\cdots }$	${\displaystyle 1+1+2+2}$
Размерность алгебры (ей) Николса	${\displaystyle 2^{2n \choose 2}}$	${\displaystyle 2^{36}=68,719,476,736}$
Ряд Гильберта	То же, что и соответствующая диагональная алгебра Николса	То же, что и соответствующая диагональная алгебра Николса ${\displaystyle (2)_{t}^{6}(2)_{t^{2}}^{5}(2)_{t^{3}}^{5}(2)_{t^{4}}^{5}(2)_{t^{5}}^{4}(2)_{t^{6}}^{3}}$${\displaystyle \cdot (2)_{t^{7}}^{3}(2)_{t^{8}}^{2}(2)_{t^{9}}(2)_{t^{10}}(2)_{t^{11}}}$
Наименьшая реализующая группа	Группа заказа ${\displaystyle 2^{n+1}}$ с большим центром заказа ${\displaystyle 2^{2}}$ соотв. ${\displaystyle 2^{3}}$ (за ${\displaystyle n}$ даже соотв. странный)	Группа заказа ${\displaystyle 2^{4+1}}$ с большим центром заказа ${\displaystyle 2^{3}}$ т.е. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {D} _{4}}$
... и класс сопряженности		${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\{z_{1}\}}\oplus {\mathcal {O}}_{\{z_{2}\}}\oplus {\mathcal {O}}_{[x_{1}]}\oplus {\mathcal {O}}_{[y_{1}]}}$
Источник	[16]

Обратите внимание, что есть еще несколько складок, например ${\displaystyle {^{3}}D_{4},{^{2}}D_{n}}$ а также некоторые не лиева типа, но они нарушают условие, что носитель порождает группу.

Плакат со всеми известными алгебрами Николса

(Саймон Лентнер, Университет Гамбурга, пожалуйста, не стесняйтесь писать комментарии / исправления / пожелания по этому поводу: simon.lentner на uni-hamburg.de)

Рекомендации

1. Андрускевич, Шнайдер: Остроконечные алгебры Хопфа, Новые направления в алгебрах Хопфа, 1–68, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 43, Cambridge Univ. Press, Кембридж, 2002.
2. Андрускевич, Хеккенбергер, Шнайдер: Алгебра Николса полупростого модуля Йеттера – Дринфельда, Амер. J. Math., Т. 132, нет. 6, декабрь 2010 г., стр. 1493–1547.
3. Кунц, Хеккенбергер: Конечные группоиды Вейля, Препринт (2010) arXiv:1008.5291, чтобы появиться в J. Reine Angew. Математика. (2013)
4. Хеккенбергер: Классификация арифметических корневых систем, Adv. Математика.220 (2009), 59–124.
5. Хеккенбергер, Ван: Алгебры Николса ранга 2 диагонального типа над полями положительной характеристики, СИГМА 11 (2015), 011, 24 стр.
6. Хеккенбергер, Вендрамин: Классификация алгебр Николса полупростых модулей Йеттера – Дринфельда над неабелевыми группами , Препринт (2014) arXiv:1412.0857
7. Андрускевич, Фантино, Грана, Вендрамин: Об алгебрах Николса, связанных с простыми стойками, 2010.
8. Андрускевич, Фантино, Грана, Вендрамин: Точечные алгебры Хопфа над спорадическими простыми группами, 2010.
9. Андрускевич, Фантино, Грана, Вендрамин: Конечномерные точечные алгебры Хопфа с знакопеременными группами тривиальны., 2010.
10. Андрускевич, Карновале, Гарсия: Конечномерные точечные алгебры Хопфа над конечными простыми группами лиева типа I. Неполупростые классы в PSL (n, q), Препринт (2013), arXiv:1312.6238
11. Андрускевич, Карновале, Гарсия: Конечномерные точечные алгебры Хопфа над конечными простыми группами лиева типа II. Унипотентные классы в симплектических группах, Препринт (2013), arXiv:1312.6238
12. Шнайдер, Милински: Алгебры Николса над группами Кокстера, 2000.
13. Андрускевич, Грана: От стоек к точечным алгебрам Хопфа, Adv. по математике. 178, т. 2, 177–243 (2003).
14. Фомин, Кирилов: Квадратичные алгебры, элементы Данкла и исчисление Шуберта, 1999.
15. Хеккенбергер, Шнайдер: Алгебры Николса над группами с конечной корневой системой ранга 2 I, 2010.
16. Лентнер: Диссертация (2012) и Новые алгебры Николса большого ранга над неабелевыми группами с коммутаторной подгруппой Z_2, Journal of Algebra 419 (2014), стр. 1–33.
17. Грана: Об алгебрах Николса малой размерности, Новые тенденции в теории алгебры Хопфа; Contemp. Математика. 267 (2000), 111–136
18. Хеккенбергер, Лохманн, Вендрамин: Плетеные стойки, действия Гурвица и алгебры Николса со многими кубическими отношениями, Преобразовать. Группы 17 (2012), вып. 1, 157–194
19. Хеккенбергер, Вендрамин: Классификация алгебр Николса над группами с конечной корневой системой ранга два , Препринт (2013) arXiv:1311.2881
20. Кунц, Лентнер: Симплициальный комплекс алгебр Николса, Препринт (2015) arXiv:1503.08117.