Алгебра николса - Nichols algebra

В алгебре Алгебра николса из плетеное векторное пространство (с косой, часто индуцируемой конечной группой) является плетеная алгебра Хопфа который обозначается ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)}$ и назван в честь математика Уоррена Николса. Он играет роль квантовой борелевской части точечной алгебры Хопфа.^[1] например, квантовые группы и их хорошо известные конечномерные усечения. Алгебры Николса могут быть немедленно использованы для записи новых таких квантовых групп, используя Бипродукт Рэдфорда.^[1]

Классификация всех таких алгебр Николса и даже всех связанных с ними квантовые группы (см. Приложение) быстро прогрессирует, хотя многое еще остается открытым: случай абелевой группы был раскрыт в 2005 г.^[2] но в остальном это явление кажется очень редким, с несколькими известными примерами и установленными мощными критериями отрицания (см. ниже). Также это Список конечномерных алгебр Николса.

Конечномерная теория во многом определяется теорией корневые системы и Диаграммы Дынкина, поразительно похожи на полупростые алгебры Ли.^[3] Подробное введение можно найти в лекции Хеккенбергера.^[4]

Определение

Рассмотрим модуль Йеттера – Дринфельда. V в Категория Йеттера – Дринфельда ${\displaystyle {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$. Это особенно заплетенное векторное пространство, см. Плетеная моноидальная категория.

В тензорная алгебра ${\displaystyle TV}$ модуля Йеттера – Дринфельда ${\displaystyle V\in {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$ всегда Плетеная алгебра Хопфа. Побочный продукт ${\displaystyle \Delta }$ и считать ${\displaystyle \epsilon }$ из ${\displaystyle TV}$ определяется таким образом, что элементы ${\displaystyle V}$ примитивны, то есть для всех ${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle \Delta (v)=1\otimes v+v\otimes 1}$

${\displaystyle \epsilon (v)=0}$

Алгебра Николса однозначно определяется формулой несколько эквивалентных характеристик, некоторые из которых сосредоточены на структуре алгебры Хопфа, а некоторые являются более комбинаторными. Тем не менее, явное определение алгебры Николса (даже определение того, является ли она конечномерной) может быть очень трудным и открытым в нескольких конкретных случаях (см. Ниже).

Определение I: комбинаторная формула

Позволять ${\displaystyle V}$ быть плетеное векторное пространство, это означает, что существует действие группы кос ${\displaystyle \mathbb {B} _{n}}$ на ${\displaystyle V^{\otimes n}}$ для любого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, где транспонирование ${\displaystyle (i,i+1)}$ выступает в качестве ${\displaystyle id\otimes \cdots \otimes \tau \otimes id\cdots id}$. Ясно, что существует гомоморфизм симметрической группе ${\displaystyle \pi :\mathbb {B} _{n}\to \mathbb {S} _{n}}$ но ни это не допускает раздел, ни действие на ${\displaystyle V^{\otimes n}}$ в общем, факторизуйте по этому поводу.

Тем не менее рассмотрим теоретико-множественный раздел ${\displaystyle s:\mathbb {S} _{n}\to \mathbb {B} _{n}}$ отправка транспозиции в транспонирование и произвольные элементы через любые уменьшенное выражение. Это не гомоморфизм групп, но Теорема Мацумото (теория групп) говорит нам, что действие любого ${\displaystyle s(\sigma )}$ на ${\displaystyle V^{\otimes n}}$ хорошо определен независимо от выбора сокращенного выражения. Наконец, алгебра Николса тогда

${\displaystyle {\mathfrak {W}}_{n}:=\sum _{\sigma \in \mathbb {S} _{n}}s(\sigma ):\;\;V^{\otimes n}\to V^{\otimes n}\qquad {\text{(quantum symmetrizer or quantum shuffle map)}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V):=\bigoplus _{n\geq 0}V^{\otimes n}/Ker({\mathfrak {W}}_{n})}$

Это определение позже (но независимо) дал Воронович. Его недостатком является то, что он редко используется в алгебраических доказательствах, но он представляет собой самостоятельную интуицию и имеет дидактическое преимущество в том, что он очень явный и независимый от обозначений алгебры Хопфа.

Определение II: Предписанные примитивы

Алгебра Николса ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)}$ - единственная алгебра Хопфа в сплетенной категории ${\displaystyle {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$ порожденный данным ${\displaystyle V\in {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$, так что ${\displaystyle V\subset {\mathfrak {B}}(V)}$ являются Только примитивные элементы.

Это первоначальное определение, данное Николсом, которое делает очень прозрачной роль алгебры Николса как фундаментального понятия в классификации алгебр Хопфа.

Определение III: Универсальное частное

Позволять ${\displaystyle V\in {}_{H}^{H}{\mathcal {YD}}}$. Существует самый крупный идеальный ${\displaystyle {\mathfrak {I}}\subset TV}$ со следующими свойствами:

${\displaystyle {\mathfrak {I}}\subset \bigoplus _{n=2}^{\infty }T^{n}V,}$

${\displaystyle \Delta ({\mathfrak {I}})\subset {\mathfrak {I}}\otimes TV+TV\otimes {\mathfrak {I}}}$ (это автоматически)

Алгебра Николса

${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V):=TV/{\mathfrak {I}}}$

Определение IV: невырожденное спаривание

Уникальное сочетание Хопфа ${\displaystyle V\otimes TV^{*}\to k}$ разлагается на невырожденный Хопф в паре между ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)\otimes {\mathfrak {B}}(V^{*})\to k}$ и этот факт однозначно характеризует алгебру Николса. Эта теоретически очень полезная характеристика принадлежит Люстигу.

Определение V: косые производные

Это несколько явная форма предыдущего определения: выбран однородный базис ${\displaystyle v_{i}\in V}$ (т. е. сотрудничество / выпуск ${\displaystyle v_{i}\mapsto g_{i}\otimes v_{i}}$) можно определить косые деривации ${\displaystyle \partial _{i}}$, используя универсальное свойство тензорной алгебры:

${\displaystyle \partial _{i}(1)=0\quad \partial _{i}(v_{j})=\delta _{ij}}$

${\displaystyle \partial _{i}(ab)=a\partial _{i}(b)+\partial _{i}(a)(g_{i}.b)}$

Тогда алгебра Николса ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)}$ является частным от ${\displaystyle TV}$ наибольшим однородным идеалом, не содержащим констант и инвариантным относительно всех выводов ${\displaystyle \partial _{i}}$. Грубо говоря, можно заглянуть в ${\displaystyle TV}$ для элементов в ядре всех косообразований и разделить их; затем снова найдите все элементы, которые сейчас находятся в ядре всех косых производных, и разделите их также и т. д.

Примеры

Приведены примеры конечномерных алгебр Николса. Сверх характеристики п, этот эффект может проявиться уже в ситуации без плетения, а именно в усеченных универсальных оболочках p-ограниченных алгебр Ли. В нулевой характеристике и с плетением, исходящим из абелевой группы, это, кажется, такое же частое явление (однако более сложное, см. Классификация). За грамм неабелевский, с другой стороны, пока известно очень мало примеров, а сильные критерии отрицания вообще исключают многие группы (см. Классификация).

1-мерные примеры

В качестве первого примера рассмотрим одномерный модуль Йеттера – Дринфельда. ${\displaystyle V_{\pm }=kx}$ над Групповая алгебра Хопфа ЧАС = k[Z/2Z] с Циклическая группа мультипликативно обозначаются (как обычно в алгебре) и порождаются некоторыми грамм.

• Принимать как ЧАС-coaction (соотв. Z/2Z-градация) на ${\displaystyle V_{\pm }}$: ${\displaystyle x\mapsto g\otimes x}$
• Принимать как ЧАС-действие (соотв. Z/2Z-действие) на ${\displaystyle V_{\pm }}$: ${\displaystyle g\otimes x\mapsto \pm x}$
• Таким образом, плетение ${\displaystyle x\otimes x\rightarrow \pm x\otimes x}$

Тогда, в зависимости от выбора знака, алгебры Николса будут:

${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V_{+})=k[x]\qquad {\mathfrak {B}}(V_{-})=k[x]/(x^{2})}$

Обратите внимание, что первый такой же, как и ожидалось (случай без плетения), а второй был усеченный до такой степени, что это конечномерно! По аналогии, V_q над высшей циклической группой с грамм действуя некоторыми q в k имеет алгебру Николса ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V_{q})=k[x]/(x^{n})}$ если q ≠ 1 - примитивный п-й корень из единства, и ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V_{q})=k[x]}$ иначе.

(с физической точки зрения V₊ соответствует бозону, а V_– представляет собой фермион, ограниченный Принцип исключения Паули; аналогия, которая повторяется при рассмотрении плетеных коммутаторов, которые в этих случаях являются (анти) коммутаторами, см. также Суперсимметрия как квантовая группа и обсуждение)

Примеры более высокого ранга более грамм абелевы: плетеные коммутаторы

Следующие примеры демонстрируют взаимодействие двух базисных элементов: Рассмотрим двумерный модуль Йеттера – Дринфельда. V_0,1 = kx ⊕ ты над групповая алгебра Хопфа ЧАС = k[Z/2Z × Z/2Z] с Кляйн четыре группы мультипликативно обозначается и порождается некоторыми г, ч.

• Принимать как ЧАС-коакция / выпускной на V_0,1: ${\displaystyle x\mapsto g\otimes x}$ и ${\displaystyle x\mapsto g\otimes x}$
• Принимать как ЧАС-действие (соотв. Z/2Z-действие) на V_0,1:
  • ${\displaystyle g\otimes x\mapsto -x}$
  • ${\displaystyle g\otimes y\mapsto +y}$
  • ${\displaystyle h\otimes y\mapsto -y}$
  • ${\displaystyle h\otimes x\mapsto \pm x}$ с "+" за V₀ (симметричный) и "–" за V₁ (асимметричный)
• Таким образом, плетение
  • ${\displaystyle x\otimes x\rightarrow -x\otimes x}$
  • ${\displaystyle y\otimes y\rightarrow -y\otimes y}$
  • ${\displaystyle x\otimes y\rightarrow y\otimes x}$
  • ${\displaystyle y\otimes x\rightarrow \pm x\otimes y}$

Тогда, в зависимости от выбора знака, алгебры Николса имеют размерность 4 и 8 (они фигурируют в классификации под ${\displaystyle q_{12}q_{21}=\pm 1}$):

${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V_{0})=k[x,y]/(x^{2},y^{2},xy+yx),}$

${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V_{1})=k[x]/(x^{2},y^{2},xyxy+yxyx)}$

Здесь можно увидеть поразительное сходство с Полупростые алгебры Ли: В первом случае плетеный коммутатор [Икс, у] (здесь: антикоммутатор) равен нулю, а во втором корневая строка длиннее [Икс, [Икс, у]] = 0. Значит, эти два принадлежат Диаграммы Дынкина ${\displaystyle A_{1}\cup A_{1}}$ и А₂.

Также создаются примеры с еще более длинными корневыми строками. V₂, V₃ соответствующий Диаграммы Дынкина B₂, ГРАММ₂ (но и высшие тоже).

Универсальная обертывающая алгебр Ли, квантовые группы.

Алгебры Николса, вероятно, наиболее известны как борелевская часть квантовых групп и их обобщений. Точнее пусть

${\displaystyle V:=x_{1}\mathbb {C} \oplus x_{2}\mathbb {C} \oplus \cdots \oplus x_{n}\mathbb {C} }$

- диагональный модуль Йеттера-Дринфельда над абелевой группой ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} ^{n}=\langle K_{1},\ldots ,K_{n}\rangle }$ с плетением

${\displaystyle x_{i}\otimes x_{j}\mapsto q_{ij}x_{j}\otimes x_{i}\qquad q_{ij}:=q^{(\alpha _{i},\alpha _{j})}}$

куда ${\displaystyle (\alpha _{i},\alpha _{j})}$ - форма Киллинга полупростой (конечномерной) алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, то алгебра Николса является положительной частью малой квантовой группы Люстига

${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)=u_{q}({\mathfrak {g}})^{+}}$

Включает супер-алгебры Ли

В списке Хеккенбергера диагональных алгебр Николса больше, чем алгебр Ли, а теория корневых систем является систематической, но более сложной (см. Ниже). В частности, он также содержит классификацию супер-алгебр Ли (пример ниже), а также некоторые алгебры Ли и супер-алгебры Ли, которые появляются только в определенной конечной характеристике.

Таким образом, теория алгебр Николса и теория корневых систем обеспечивают единую основу для этих понятий.

Недиагональные косы, неабелевы группы

Лишь горстка конечномерных алгебр Николса над k = C известны пока. Известно, что в этом случае каждый неприводимый модуль Йеттера – Дринфельда ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{[g]}^{\chi }}$ соответствует Класс сопряженности группы (вместе с неприводимым представлением централизатор из грамм). Произвольный модуль Йеттера – Дринфельда является прямая сумма таких ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{[g]}^{\chi }}$, количество слагаемых называется классифицировать; каждое слагаемое соответствует аноду в Диаграмма Дынкина (Смотри ниже). Обратите внимание, что для абелевых групп, как указано выше, неприводимые слагаемые одномерны, поэтому ранг и размерность совпадают.

Конкретные примеры включают алгебру Николса, связанную с классом (ами) сопряженности отражений в группе Кокстера, они связаны с алгебрами Фомина Кирилова. Известно, что эти алгебры Николса конечномерны при ${\displaystyle \mathbb {S} _{3},\mathbb {S} _{4},\mathbb {S} _{5},\mathbb {D} _{4}}$ но уже дело ${\displaystyle \mathbb {S} _{6}}$ открыт с 2000 года. Другой класс примеров может быть построен из абелевого случая путем сворачивания через автоморфизмы диаграмм.

Смотрите здесь для списка Список конечномерных алгебр Николса насколько нам известно.

Корневая система

Очень примечательной особенностью является то, что для каждый В алгебре Николса (при достаточных условиях конечности) существует обобщенная система корней с множеством корней ${\displaystyle \Phi }$, который управляет алгеброй Николса. Это было обнаружено в ^[5] для диагональных алгебр Николса через бихарактер ${\displaystyle q_{ij}}$ И в ^[6] для общих полупростых алгебр Николса. В отличие от обычных кристаллографических систем корней, известных из алгебр Ли, та же обобщенная система корней ${\displaystyle \Phi }$ может иметь несколько различные камеры Вейля, соответствующий неэквивалентному выбору множеств положительных корней ${\displaystyle \Phi =\Phi ^{+}\cup -\Phi ^{+}}$ и простые положительные корни ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots \alpha _{n}}$с разными матрицами Картана и разными диаграммами Дынкина.

Разные камеры Вейля фактически соответствуют различным неизоморфным алгебрам Николса, которые называются Вейлев-эквивалентными. Квантовые группы очень специфичны в связи с тем, что здесь все борелевские части изоморфны; тем не менее даже в этом случае оператор отражения Люстига ${\displaystyle T_{s}}$ снова нет' изоморфизм алгебр Хопфа!

Определение группоида Вейля и обобщенной системы корней

Позволять ${\displaystyle I=\{1,\ldots n\}}$ куда ${\displaystyle n}$ это ранг, имеющий формальную основу ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots \alpha _{n}}$.

Сначала мы обсудим обобщенные графы Картана, как в:^[6]

• А обобщенная матрица Картана ${\displaystyle c_{ij},\;\;i,j\in I}$ интегральная матрица такая, что
  • ${\displaystyle c_{ii}=2,\quad c_{ij}<0}$
  • ${\displaystyle c_{ij}=0\Rightarrow c_{ji}=0}$
• А Граф Картана представляет собой набор таких матриц Картана ${\displaystyle c_{ij}^{a},\;\forall a\in A}$ параметризованный набором объектов / камер ${\displaystyle A}$вместе с морфизмом (изменение объекта) ${\displaystyle r_{i}:A\to A}$ такой, что
  • ${\displaystyle r_{i}^{2}=id}$
  • ${\displaystyle c_{ij}^{a}=c_{ij}^{r_{i}(a)}}$
• Определить карты

${\displaystyle s_{i}^{a}:\mathbb {Z} ^{I}\to \mathbb {Z} ^{I}}$

${\displaystyle s_{i}^{a}:\;\alpha _{j}\mapsto \alpha _{j}-c_{ij}^{a}\alpha _{i}}$

(обратите внимание, что в литературе по алгебре Ли также существует соглашение о транспонировании для ${\displaystyle c_{ij}}$, например в книге Хамфри)

• В Группоид Вейля это категория с объектами ${\displaystyle A}$ и морфизмы ${\displaystyle Hom(a,b)}$ формально группы, порожденные ${\displaystyle s_{i}^{a}:a\to r_{i}(a)}$
• В набор настоящих корней ${\displaystyle \Phi _{a}^{+}}$ это набор ${\displaystyle \{id^{a}s_{i_{1}}\cdots s_{i_{k}}(\alpha _{j})\,|\,k\in \mathbb {N} _{0},\,i_{1},\dots ,i_{k},j\in I\}\subseteq \mathbb {N} ^{I}}$
• Определять ${\displaystyle m_{i,j}^{a}=|\Phi ^{a}\cap (\mathbb {N} _{0}\alpha _{i}+\mathbb {N} _{0}\alpha _{j})|}$,
• Затем корневая система ${\displaystyle \Phi }$ типа ${\displaystyle (c_{i,j}^{a})_{a\in A}}$ это набор
  • ${\displaystyle \Phi ^{a}=\Phi _{+}^{a}\cup -\Phi _{+}^{a}}$ с ${\displaystyle \Phi _{+}^{a}=\Phi ^{a}\cap \mathbb {N} _{0}^{I}}$
  • ${\displaystyle \Phi ^{a}\cap \mathbb {Z} \alpha _{i}=\{\alpha _{i},-\alpha _{i}\}}$
  • ${\displaystyle s_{i}^{a}(\Phi ^{a})=\Phi ^{r_{i}(a)}}$
  • За ${\displaystyle i\neq j}$ с ${\displaystyle m_{ij}}$ конечный ${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{m_{i,j}^{a}}(a)=a}$

Эквивалентность схемам кристаллографической гиперплоскости

В ^[7] было показано, что группоиды Вейля в соотношении 1: 1 кристаллографические схемы гиперплоскостей. Это набор гиперплоскостей в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ через происхождение и выбор нормальных векторов, таких что для каждой симплициальной камеры, ограниченной ${\displaystyle n}$ гиперплоскости с нормальными векторами ${\displaystyle \alpha _{1}^{\perp },\ldots \alpha _{n}^{\perp }}$ все остальные выбранные нормали ${\displaystyle \alpha ^{\perp }}$ можно выразить как интеграл линейная комбинация ${\displaystyle \alpha _{i}^{\perp }}$.

В ^[8] набор всех конечных кристаллографических конфигураций гиперплоскостей (и, следовательно, конечных групп Вейля или конечных обобщенных систем корней) классифицирован. Помимо механизмов отражения ${\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}$ есть еще одна бесконечная семья и всего 74 исключения с рангом до ${\displaystyle 8}$.

Пример ранга 3 (также супералгебра Ли)

Наименьшая кристаллографическая структура гиперплоскостей, группоид Вейля, обобщенная система корней, не относящаяся к обычному лиеву типу, выглядит следующим образом. Он появляется для диагональной алгебры Николса, даже для супералгебры Ли. Схема гиперплоскости может быть построена из кубооктаэдр (платоническое твердое тело):

Она имеет ${\displaystyle 7}$ корни (${\displaystyle 4}$ соотв. ${\displaystyle 3}$ гиперплоскости, на рисунках ограничивающие равносторонний треугольник соотв. диагонали в квадратах, в супералгебре Ли нечетные соотв. даже корни). Это заметно ${\displaystyle 2}$ различные типы камер Вейля (равносторонние треугольники или прямоугольные треугольники) с разными матрицами Картана, в которых корни в терминах простых корней следующие:

${\displaystyle \Phi _{+}^{a}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)\}}$

На фото белая камера, например с основой ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}$. Ясно, что диаграмма Дынкина такого типа камеры ${\displaystyle a\in A}$ треугольник с простыми шнурами,

Размышления о ${\displaystyle \alpha _{2}}$ подводит нас ко второму типу камер

${\displaystyle \Phi _{+}^{a'}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(1,1,1),(1,2,1)\}}$

На картинке серая камера, например с основанием ${\displaystyle \alpha _{1}',\alpha _{2}',\alpha _{3}'=\alpha _{12},-\alpha _{2},\alpha _{23}}$. Диаграмма Дынкина этого типа камеры ${\displaystyle a'\in A}$ просто ${\displaystyle A_{2}}$ (но еще один рут).

Эта корневая система - наименьший член бесконечного ряда. Фотографии взяты из,^[9] где также подробно обсуждается пример.

Классификация (подробности)

Над абелевыми группами

Алгебры Николса конечной размерности над абелевы группы в k = C были классифицированы Иштваном Хеккенбергером^[2] в 2004–2005 гг. путем классификации арифметических корневые системы и обобщенный Диаграммы Дынкина; где Харченко уже доказал, что у них есть Базис Пуанкаре – Биркгофа – Витта. повторных (плетеных) коммутаторов.Единственная необходимая информация - это матрица плетения, которая диагональ в этой настройке (см. примеры выше)

${\displaystyle x_{i}\otimes x_{j}\mapsto q_{ij}x_{j}\otimes x_{i}}$

Хотя в основном только классика Картан-футляры Оказывается, есть несколько экзотических диаграмм, возможных для малых простых чисел, таких как треугольник

Диаграмма Дынкина ранга 3, ассоциированная с конечномерной алгеброй Николса

В этих случаях Размышления Вейля одной диаграммы может оказаться не на «той же» диаграмме, а в так называемой Эквивалент Вейля. Это также точная причина того, что эти экзотические случаи обладают вейлевскимгруппоид вместо обычной группы.

В генераторы и отношения алгебры Николса являются нет легко доступны из корневой системы. Скорее, нужно проделать утомительную работу со словами Lynond. Это было полностью сделано в ^[10]

Отрицательные критерии: абелевы крейты

Специально для несводимых V нет субмодулей; однако можно использовать более абстрактное понятие крейт отражает только плетение двух содержащихся элементов. В нескольких статьях Николас Андрускевич и другие. дал отрицательные критерии полное исключение групп из обладания (неразложимыми) алгебрами Николса. Их методы можно в общих чертах резюмировать.^[11] (подробнее!):

Рассмотрим подстойку, которая является абелевой, проверьте, какое представление может быть унаследовано от большей стойки, и найдите в списке Хеккенбергерса. ^[2]

Этот анзац иногда ставит жесткие условия, особенно на плетение любого грамм-градуированный элемент Икс с собой (например, в первом примере выше показано q ≠ 1). Обратите внимание, потому что грамм является центральным в централизаторе, он действует на неприводимое представление скаляром как следствие Лемма Шура; следовательно, это самоплетение соотв. 1-мерный суб-модуль Йеттера-Дринфельда / плетеное векторное пространство / 1-мерный суб-модуль диагональ

${\displaystyle x\otimes x\;{\stackrel {\tau }{\longmapsto }}\;q(x\otimes x)\;\;\Longleftrightarrow \;\;g.x=qx}$

Обычно используется для исключения грамм например нечетного порядка и / или χ большой размерности:^[12]

• Если грамм является настоящий (т.е. сопряжены с обратным), тогда q = –1 (особенно грамм должен быть ровным)
• Если грамм является квазиреальный (т.е. сопряжены с некоторыми j-я степень) тогда
  • либо q = –1, как указано выше
  • или же ${\displaystyle g^{(j^{2})}=g}$ а представление χ одномерно с q = ζ₃ а примитивный 3-й корень единства (особенно порядок грамм делится на 3)
• Если наоборот грамм является инволюция и некоторая централизация час = tgt затем собственные значения из час (рассматривается как матрица), действующая на ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{[g]}^{\chi }}$ строго ограничено.

Системы корней над неабелевыми группами

Существование корневой системы и в неабелевом случае ^[3] сразу подразумевает следующие очень сильные следствия:

Непосредственные последствия подразумеваются для 2 место Алгебры Николса ${\displaystyle {\mathfrak {B}}\left({\mathcal {O}}_{[g]}\oplus {\mathcal {O}}_{[h]}\right)}$ который г, ч беспокоящий; тогда:

• Сплетенные коммутаторы [Икс, у] элементов ${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}_{[g]}\;y\in {\mathcal {O}}_{[h]}}$ находятся не все ноль.
• Пространство плетеных коммутаторов ${\displaystyle ad_{{\mathcal {O}}_{[g]}}{\mathcal {O}}_{[h]}=[{\mathcal {O}}_{[g]},{\mathcal {O}}_{[h]}]}$ для мужчин несводимый дополнительный модуль Йеттера – Дринфельда ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{[gh]}}$ (т.е. корень единственный, как в случае алгебры Ли)
• Они '"близко к поездке" ${\displaystyle \;(gh)^{2}=(hg)^{2}}$

Это примерно означает, что конечномерные алгебры Николса над неабелевыми группами должны быть (если вообще) очень низкого ранга или группа должна быть близкой к абелевой.

Отрицательные критерии: неабелевы крейты (тип D)

Поскольку абелевы подкрепления используют структурную классификацию Хеккенбергера для алгебр Николса над абелевыми группами (см. Выше), можно также рассматривать неабелевы подкрепления. Если такой блок разбивается на несколько частей (поскольку теперь присутствует меньше элементов для сопряжения), то применимы вышеуказанные результаты для корневых систем.

Конкретный случай^[12] где это очень успешно тип D, т.е. для ${\displaystyle r,s\in [g]\;}$

• р, s не сопряжены в сгенерированной подгруппе ${\displaystyle \langle r,s\rangle \;}$
• ${\displaystyle (rs)^{2}\neq (sr)^{2}\;}$

в этом случае алгебра Николса подкласса бесконечномерный и вся алгебра Николса

Известные группы, не допускающие конечномерных алгебр Николса

Обе техники отрицания, описанные выше, оказались очень плодотворными для отрицать (неразложимые) конечномерные алгебры Николса:^[12]

• за Чередующиеся группы ${\displaystyle \mathbb {A} _{n\geq 5}}$ ^[13]
• за Симметричные группы ${\displaystyle \mathbb {S} _{n\geq 6}}$ кроме краткого списка примеров^[13]
• немного группа лиева типа (источники, полный список?)
• все Спорадические группы за исключением короткого списка возможностей (соответственно классов сопряженности в нотации ATLAS), которые все являются реальными или j = 3-квазиреальный:
  • ...для Группа Фишера ${\displaystyle Fi_{22}\;}$ классы ${\displaystyle 22A,22B\;}$
  • ...для группа маленьких монстров B классы ${\displaystyle 16C,\;16D,\;32A,\;32B,\;32C,\;32D,\;34A,\;46A,\;46B\;}$
  • ...для группа монстров M классы ${\displaystyle 32A,\;32B,\;46A,\;46B,\;92A,\;92B,\;94A,\;94B\;}$

Обычно большое количество классов сопряженности п.в. типа D («недостаточно коммутативно»), в то время как остальные имеют тенденцию иметь достаточное количество абелевых подкатегорий и могут быть исключены при их рассмотрении. Некоторые случаи приходится делать вручную. Обратите внимание, что открытые случаи имеют тенденцию иметь очень маленькие централизаторы (обычно циклические) и представления χ (обычно одномерное знаковое представление). Существенным исключением являются классы сопряженности порядка 16, 32, имеющие в качестве централизаторов p-группы порядка 2048 соотв. 128 и в настоящее время нет ограничений на χ.

Приложения

Алгебра Николса выглядит как квантовая борелевская часть в классификации конечномерных точечных алгебр Хопфа^[1] (без малых простых чисел) Николаса Андрускевича и Ханса-Юргена Шнайдера, особенно Квантовые группы. Например, ${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {g}})}$ и их хорошо известные усечения для q корень единства разлагается, как обычный Полупростая алгебра Ли в E´s (часть Бореля), двойственная Fпесок K´s (алгебра Картана):

${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {g}})\cong \left({\mathfrak {B}}(V)\otimes k[\mathbb {Z} ^{n}]\otimes {\mathfrak {B}}(V^{*})\right)^{\sigma }}$

Здесь, как и в классической теории V это векторное пространство размерности п (в классифицировать из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$), охватываемый E´s, а σ (так называемое скручивание коциклов) создает нетривиальную связывание между Eпесок F´s. Обратите внимание, что в отличие от классической теории может появиться более двух связанных компонентов. Видеть соч. loc. для экзотического примера с 4 частями типа А₃.

обобщенная диаграмма Дынкина для точечной алгебры Хопфа, соединяющая четыре копии A3

Классификация грубо сокращает данный гипотетический пример до Бипродукт Рэдфорда (корадикальной) группы и (связной) части, которая содержит алгебру Николса, взяв соответствующий «градуированный объект» (уничтожив все зацепления). Зная классификацию конечномерных алгебр Николса, приведенную выше, авторы доказывают, что в связной части не появляются дополнительные элементы (поколение в степени 1), и, наконец, описывают все возможные подъемы как «пунктирные линии» в обобщенном виде. Диаграммы Дынкина.

В последнее время это соответствие было значительно расширено для выявления некоторых так называемых коидеальные подалгебры быть в переписке 1: 1^[14] к Группа Вейля, которое ранее предполагалось как "численное совпадение" и в некоторых случаях доказывалось вручную.

Рекомендации

^{[1][2][3][4][5][6][7][8][9][10][11][12][13][14][15][16][17][18][19]}

1. Андрускевич, Шнайдер: Остроконечные алгебры Хопфа, Новые направления в алгебрах Хопфа, 1–68, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 43, Cambridge Univ. Press, Кембридж, 2002.
2. Хеккенбергер: Алгебры Николса диагонального типа и арифметические системы корней, Докторская диссертация 2005.
3. Хеккенбергер, Шнайдер: Система корней и группоид Вейля для алгебр Николса, 2008.
4. Хеккенбергер: Алгебры Николса (Конспект лекций), 2008 г. http://www.mi.uni-koeln.de/~iheckenb/na.pdf
5. Хеккенбергер: Группоид Вейля алгебры Николса диагонального типа, Изобретать. Математика. 164 (2006), 175-188.
6. Андрускевич, Хеккенбергер, Шнайдер: Алгебра Николса полупростого модуля Йеттера-Дринфельда, Амер. J. Math. 132 (2010), нет. 6, 1493–1547
7. Кунц: Кристаллографические схемы: группоиды Вейля и симплициальные распоряжения, Бык. Лондонская математика. Soc. 43 (2011), № 4, 734-744.
8. Кунц, Хеккенбергер: Конечные группоиды Вейля, J. Reine Angew. Математика. 702 (2015), 77-108.
9. Кунц, Лентнер: Симплициальный комплекс алгебр Николса, Препринт под https://arxiv.org/abs/1503.08117.
10. Ангионо: Представление образующими и отношениями алгебр Николса диагонального типа и выпуклых порядков на корневых системах. Препринт arXiv: 1008.4144. появиться в J. Europ. Математика. Soc.
11. Андрускевич, Фантино, Грана, Вендрамин: Об алгебрах Николса, связанных с простыми стойками, 2010.
12. Андрускевич, Фантино, Грана, Вендрамин: Точечные алгебры Хопфа над спорадическими простыми группами, 2010.
13. Андрускевич, Фантино, Грана, Вендрамин: Конечномерные точечные алгебры Хопфа с знакопеременными группами тривиальны., 2010.
14. Хеккенбергер, Шнайдер: Правые коидеальные подалгебры алгебр Николса и порядок Дюфло группоида Вейля, 2009.
15. Шнайдер, Милински: Алгебры Николса над группами Кокстера, 2000.
16. Андрускевич, Грана: От стоек к точечным алгебрам Хопфа, 2003.
17. Фомин, Кирилов: Квадратичные алгебры, элементы Данкла и исчисление Шуберта, 1999.
18. Грана: http://mate.dm.uba.ar/~matiasg/zoo.html
19. Хеккенбергер, Шнайдер: Алгебры Николса над группами с конечной корневой системой ранга 2 I, 2010.