Плетеное векторное пространство - Braided vector space - Wikipedia

В математике плетеный векторное пространство ${\displaystyle \;V}$ это векторное пространство вместе с дополнительной структурной картой ${\displaystyle \tau }$ символизирующий обмен двух векторов тензорные копии:

${\displaystyle \tau :\;V\otimes V\longrightarrow V\otimes V}$

так что Уравнение Янга – Бакстера выполняется. Следовательно, рисунок тензорные диаграммы с ${\displaystyle \tau }$ ан пересечение соответствующий составной морфизм не изменяется, когда Ход Рейдемейстера применяется к тензорной диаграмме, и, таким образом, они представляют собой представление группа кос.

В качестве первого примера каждое векторное пространство плетется с помощью тривиального плетения (просто переворачивания).^{[требуется разъяснение ]}. А суперпространство имеет плетение со знаком минус в плетении два странный векторов. В более общем плане диагональное плетение означает, что для ${\displaystyle \;V}$-основание ${\displaystyle x_{i}}$ у нас есть

${\displaystyle \tau (x_{i}\otimes x_{j})=q_{ij}(x_{j}\otimes x_{i})}$

Хороший источник для плетеных векторных пространств целиком. плетеные моноидальные категории с оплеткой между любыми предметами ${\displaystyle \tau _{V,W}}$, самое главное модули над квазитреугольные алгебры Хопфа и Модули Йеттера – Дринфельда над конечными группами (такими как ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ над)

Если ${\displaystyle V}$ дополнительно обладает структура алгебры внутри плетеной категории ("плетеная алгебра") есть плетеный коммутатор (например, для суперпространство то антикоммутатор ):

${\displaystyle \;[x,y]_{\tau }:=\mu ((x\otimes y)-\tau (x\otimes y))\qquad \mu (x\otimes y):=xy}$

Примеры таких плетеных алгебр (и даже Алгебры Хопфа ) являются Алгебры Николса, которые по определению порождаются данным сплетенным векторным пространством. Они выглядят как квантовая борелевская часть квантовые группы и часто (например, когда конечна или над абелевой группой) обладают арифметическая корневая система, несколько Диаграммы Дынкина и PBW-основа состоят из плетеных коммутаторов, как и в полупростые алгебры Ли.

^[1]

1. Андрускевич, Шнайдер: Остроконечные алгебры Хопфа, Новые направления в алгебрах Хопфа, 1–68, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 43, Cambridge Univ. Press, Кембридж, 2002.