Плетеная алгебра Хопфа - Braided Hopf algebra

В математика, а плетеная алгебра Хопфа это Алгебра Хопфа в плетеная моноидальная категория. Наиболее распространенные сплетенные алгебры Хопфа - это объекты в Категория Йеттера – Дринфельда алгебры Хопфа ЧАС, особенно Алгебра николса плетеного векторного пространства в этой категории.

Это понятие не следует путать с квазитреугольная алгебра Хопфа.

Определение

Позволять ЧАС - алгебра Хопфа над полем k, и предположим, что антипод ЧАС биективен. А Модуль Йеттера – Дринфельда р над ЧАС называется плетеная биалгебра в категории Йеттера – Дринфельда ${displaystyle {}_{H}^{H}{mathcal {YD}}}$ если

• ${displaystyle (R,cdot ,eta )}$ является единым ассоциативная алгебра, где отображение умножения ${displaystyle cdot :R imes R o R}$ и блок ${displaystyle eta :k o R}$ являются отображениями модулей Йеттера – Дринфельда,
• ${displaystyle (R,Delta ,varepsilon )}$ коассоциативный коалгебра со счетом ${displaystyle varepsilon }$, и оба ${displaystyle Delta }$ и ${displaystyle varepsilon }$ являются отображениями модулей Йеттера – Дринфельда,
• карты ${displaystyle Delta :R o Rotimes R}$ и ${displaystyle varepsilon :R o k}$ являются отображениями алгебры в категории ${displaystyle {}_{H}^{H}{mathcal {YD}}}$, где структура алгебры ${displaystyle Rotimes R}$ определяется единицей ${displaystyle eta otimes eta (1):k o Rotimes R}$ и карта умножения

${displaystyle (Rotimes R) imes (Rotimes R) o Rotimes R,quad (rotimes s,totimes u)mapsto sum _{i}rt_{i}otimes s_{i}u,quad { ext{and}}quad c(sotimes t)=sum _{i}t_{i}otimes s_{i}.}$

Вот c каноническое плетение в категории Йеттера – Дринфельда ${displaystyle {}_{H}^{H}{mathcal {YD}}}$.

Плетеная биалгебра в ${displaystyle {}_{H}^{H}{mathcal {YD}}}$ называется плетеная алгебра Хопфа, если есть морфизм ${displaystyle S:R o R}$ модулей Йеттера – Дринфельда такие, что

${displaystyle S(r^{(1)})r^{(2)}=r^{(1)}S(r^{(2)})=eta (varepsilon (r))}$ для всех ${displaystyle rin R,}$

где ${displaystyle Delta _{R}(r)=r^{(1)}otimes r^{(2)}}$ в слегка измененном Обозначение Sweedler - изменение обозначений выполнено во избежание путаницы в двойном произведении Рэдфорда ниже.

Примеры

• Любая алгебра Хопфа также является косой алгеброй Хопфа над ${displaystyle H=k}$
• А супер алгебра Хопфа не что иное, как заплетенная алгебра Хопфа над групповая алгебра ${displaystyle H=k[mathbb {Z} /2mathbb {Z} ]}$.
• В тензорная алгебра ${displaystyle TV}$ модуля Йеттера – Дринфельда ${displaystyle Vin {}_{H}^{H}{mathcal {YD}}}$ всегда является косой алгеброй Хопфа. Побочный продукт ${displaystyle Delta }$ из ${displaystyle TV}$ определяется таким образом, что элементы V примитивны, то есть

${displaystyle Delta (v)=1otimes v+votimes 1quad { ext{for all}}quad vin V.}$

Графство ${displaystyle varepsilon :TV o k}$ то удовлетворяет уравнению ${displaystyle varepsilon (v)=0}$ для всех ${displaystyle vin V.}$

• Универсальный коэффициент ${displaystyle TV}$, которая все еще является скрученной алгеброй Хопфа, содержащей ${displaystyle V}$ как примитивные элементы называется Алгебра николса. Они играют роль квантовых борелевских алгебр в классификации точечных алгебр Хопфа, как и в случае классической алгебры Ли.

Двойной продукт Рэдфорда

Для любой плетеной алгебры Хопфа р в ${displaystyle {}_{H}^{H}{mathcal {YD}}}$ существует естественная алгебра Хопфа ${displaystyle R#H}$ который содержит р как подалгебра и ЧАС как подалгебру Хопфа. Это называется Двойной продукт Рэдфорда, названный в честь его первооткрывателя, алгебраиста Хопфа Дэвида Рэдфорда. Это было заново открыто Шахн Маджид, кто назвал это бозонизация.

Как векторное пространство ${displaystyle R#H}$ просто ${displaystyle Rotimes H}$. Структура алгебры ${displaystyle R#H}$ дан кем-то

${displaystyle (r#h)(r'#h')=r(h_{(1)}{oldsymbol {.}}r')#h_{(2)}h',}$

где ${displaystyle r,r'in R,quad h,h'in H}$, ${displaystyle Delta (h)=h_{(1)}otimes h_{(2)}}$ (Обозначение Sweedler ) является копродуктом ${displaystyle hin H}$, и ${displaystyle {oldsymbol {.}}:Hotimes R o R}$ левое действие ЧАС на р. Далее, побочный продукт ${displaystyle R#H}$ определяется по формуле

${displaystyle Delta (r#h)=(r^{(1)}#r^{(2)}{}_{(-1)}h_{(1)})otimes (r^{(2)}{}_{(0)}#h_{(2)}),quad rin R,hin H.}$

Вот ${displaystyle Delta _{R}(r)=r^{(1)}otimes r^{(2)}}$ обозначает копродукт р в р, и ${displaystyle delta (r^{(2)})=r^{(2)}{}_{(-1)}otimes r^{(2)}{}_{(0)}}$ это левое действие ЧАС на ${displaystyle r^{(2)}in R.}$

использованная литература

• Андрускевич, Николас и Шнайдер, Ханс-Юрген, Остроконечные алгебры Хопфа, Новые направления в алгебрах Хопфа, 1–68, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 43, Cambridge Univ. Press, Кембридж, 2002.