Гипотеза Литтлвуда - Littlewood conjecture

В математика, то Гипотеза Литтлвуда является открытая проблема (по состоянию на 2016 г.^{[Обновить]}) в Диофантово приближение, предложено Джон Эденсор Литтлвуд около 1930 года. В нем говорится, что для любых двух действительные числа α и β,

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\ n\,\Vert n\alpha \Vert \,\Vert n\beta \Vert =0,}$

где ${\displaystyle \Vert \,\Vert }$ здесь расстояние до ближайшего целого числа.

Формулировка и объяснение

Это означает следующее: возьмем точку (α, β) на плоскости, а затем рассмотрим последовательность точек

(2α, 2β), (3α, 3β), ....

Для каждого из них умножьте расстояние до ближайшей линии с целочисленной координатой x на расстояние до ближайшей линии с целочисленной координатой y. Этот продукт наверняка будет не более 1/4. Гипотеза не утверждает, будет ли эта последовательность значений сходиться; на самом деле обычно этого не происходит. Гипотеза кое-что говорит о ограничивать низший, и говорит, что существует подпоследовательность, для которой расстояния убывают быстрее, чем обратные, т.е.

o (1 /п)

в маленькая нотация.

Связь с дальнейшими предположениями

Известно, что это будет следствием результата в геометрия чисел, про минимум на ненулевом решетка точки произведения трех линейных форм от трех действительных переменных: импликация была показана в 1955 г. Дж. В. С. Касселс и Суиннертон-Дайер.^[1] Это можно сформулировать иначе, в теоретико-групповых терминах. Есть еще одна гипотеза, которая, как ожидается, будет верной для п ≥ 3: указано в терминах г = SL_п(р), Γ = SL_п(Z), а подгруппа D из диагональные матрицы в г.

Гипотеза: для любого г в г/ Γ такая, что Dg является относительно компактный (в г/ Γ), то Dg закрыто.

Это, в свою очередь, является частным случаем общей гипотезы Маргулис на Группы Ли.

Частичные результаты

Борель показал в 1909 году, что исключительное множество действительных пар (α, β), нарушающих утверждение гипотезы, имеет вид Мера Лебега нуль.^[2] Манфред Айнзидлер, Анатоль Каток и Илон Линденштраус были показаны^[3] что он должен иметь Хаусдорфово измерение нуль;^[4] и на самом деле это союз счетного множества компактные наборы из размер подсчета коробок нуль. Результат был доказан с помощью классификационной теоремы меры для диагонализируемых действий групп более высокого ранга и теорема изоляции доказано Линденштраусом и Бараком Вайсом.

Из этих результатов следует, что существуют нетривиальные пары, удовлетворяющие гипотезе: действительно, если дано действительное число α такое, что ${\displaystyle \inf _{n\geq 1}n\cdot ||n\alpha ||>0}$, можно построить явное β такое, что (α, β) удовлетворяет гипотезе.^[5]

Смотрите также

• Полином Литтлвуда

использованная литература

1. J.W.S. Кассель; H.P.F. Суиннертон-Дайер (1955-06-23). «О произведении трех однородных линейных форм и неопределенных тернарных квадратичных форм». Философские труды Королевского общества A. 248 (940): 73–96. Bibcode:1955RSPTA.248 ... 73C. Дои:10.1098 / рста.1955.0010. JSTOR  91633. Г-Н  0070653. Zbl  0065.27905.
2. Адамчевски и Бюжо (2010), стр.444
3. М. Эйнзидлер; А. Каток; Э. Линденштраус (01.09.2006). «Инвариантные меры и множество исключений из гипотезы Литтлвуда». Анналы математики. 164 (2): 513–560. arXiv:math.DS / 0612721. Дои:10.4007 / анналы.2006.164.513. Г-Н  2247967. Zbl  1109.22004.
4. Адамчевски и Бюжо (2010), стр.445
5. Адамчевски и Бюжо (2010), стр.446

• Адамчевский, Борис; Бюжо, Янн (2010). «8. Трансцендентность и диофантово приближение». В Берте, Валери; Риго, Майкл (ред.). Комбинаторика, автоматы и теория чисел. Энциклопедия математики и ее приложений. 135. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 410–451. ISBN  978-0-521-51597-9. Zbl  1271.11073.

дальнейшее чтение

• Акшай Венкатеш (29 октября 2007 г.). «Работа Эйнзидлера, Катока и Линденштрауса по гипотезе Литтлвуда» (PDF). Бык. Амер. Математика. Soc. (Н.С.). 45 (1): 117–134. Дои:10.1090 / S0273-0979-07-01194-9. Г-Н  2358379. Zbl  1194.11075. Архивировано из оригинал (PDF) на 2011-05-20. Получено 2011-03-27.