Интегральная формула Лобачевского - Lobachevsky integral formula

В математике Интегралы Дирихле играть важную роль в теория распределения. Мы можем увидеть интеграл Дирихле в терминах распределений.

Один из них - несобственный интеграл от функция sinc по положительной реальной линии,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}x}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$

Интегральная формула Дирихле Лобачевского

Позволять ${\displaystyle f(x)}$ быть непрерывная функция удовлетворение ${\displaystyle \pi }$-периодическое допущение ${\displaystyle f(x+\pi )=f(x)}$, и ${\displaystyle f(\pi -x)=f(x)}$, за ${\displaystyle 0\leq x<\infty }$. Если интеграл ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}f(x)\,dx}$ считается несобственный интеграл Римана, у нас есть Лобачевский с Интеграл Дирихле формула

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}x}{x^{2}}}f(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}f(x)\,dx=\int _{0}^{\pi /2}f(x)\,dx}$

Более того, мы имеем следующее тождество как расширение Лобачевский Интегральная формула Дирихле^[1]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{4}x}{x^{4}}}f(x)\,dx=\int _{0}^{\pi /2}f(t)\,dt-{\frac {2}{3}}\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2}tf(t)\,dt.}$

В качестве приложения возьмите ${\displaystyle f(x)=1}$. потом

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{4}x}{x^{4}}}\,dx={\frac {\pi }{3}}}$

Рекомендации

1. Джолани, Хасан (2018). «Расширение формулы Лобачевского». Elemente der Mathematik. 73: 89–94.

• Харди, Г., Интеграл ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}},}$ Математический вестник, Vol. 5, № 80 (июнь – июль 1909 г.), стр. 98–103. JSTOR  3602798
• Диксон, А.С., Доказательство этого ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}},}$ Математический вестник, Vol. 6, № 96 (январь 1912 г.), стр. 223–224. JSTOR  3604314