Формула локальной характеристики Эйлера - Local Euler characteristic formula - Wikipedia

в математический поле Когомологии Галуа, то локальная характеристическая формула Эйлера это результат из-за Джон Тейт который вычисляет Эйлерова характеристика из групповые когомологии из абсолютная группа Галуа грамм_K из неархимедово локальное поле K.

Заявление

Позволять K - неархимедово локальное поле, пусть K^s обозначить отделяемое закрытие из K, позволять грамм_K = Гал (K^s/K) - абсолютная группа Галуа K, и разреши ЧАС^я(K, M) обозначают групповые когомологии грамм_K с коэффициентами в M. Поскольку когомологическая размерность из грамм_K два,^[1] ЧАС^я(K, M) = 0 для я ≥ 3. Следовательно, в эйлерову характеристику входят только группы с я = 0, 1, 2.

Случай конечных модулей

Позволять M быть грамм_K-модуль конечных порядок м. Эйлерова характеристика M определяется как^[2]

${\displaystyle \chi (G_{K},M)={\frac {\#H^{0}(K,M)\cdot \#H^{2}(K,M)}{\#H^{1}(K,M)}}}$

(в яth группы когомологий для я ≥ 3 отображаются неявно, поскольку все их размеры равны).

Позволять р обозначить кольцо целых чисел из K. Затем результат Тэйта утверждает, что если м является относительно простой к характеристика из K, тогда^[3]

${\displaystyle \chi (G_{K},M)=\left(\#R/mR\right)^{-1},}$

т.е. обратный порядку кольцо частного р/Мистер.

Следует выделить два особых случая. Если порядок M относительно проста с характеристикой поле вычетов из K, то эйлерова характеристика равна единице. Если K это конечное расширение из п-адические числа Q_п, и если v_п обозначает п-адическая оценка, тогда

${\displaystyle \chi (G_{K},M)=p^{-[K:\mathbf {Q} _{p}]v_{p}(m)}}$

куда [K:Q_п] это степень из K над Q_п.

Эйлерову характеристику можно переписать, используя местная двойственность Тейт, так как

${\displaystyle \chi (G_{K},M)={\frac {\#H^{0}(K,M)\cdot \#H^{0}(K,M^{\prime })}{\#H^{1}(K,M)}}}$

куда M^′ это местная галерея Тейт двойная из M.

Примечания

1. Серр 2002, §II.4.3
2. Эйлерова характеристика в теории когомологий обычно записывается как знакопеременный сумма размеров групп когомологий. В этом случае чередующиеся товар более стандартен.
3. Милн 2006, Теорема I.2.8

Рекомендации

• Милн, Джеймс С. (2006), Арифметические теоремы двойственности (второе изд.), Чарльстон, Южная Каролина: BookSurge, LLC, ISBN  1-4196-4274-X, МИСТЕР  2261462, получено 2010-03-27
• Серр, Жан-Пьер (2002), Когомологии Галуа, Springer Monographs in Mathematics, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-42192-4, МИСТЕР  1867431, перевод Cohomologie Galoisienne, Springer-Verlag Lecture Notes 5 (1964).