Петлевая теорема - Loop theorem

В математике в топология из 3-х коллектор, то петлевая теорема является обобщением Лемма Дена. Теорема о петле была впервые доказана Христос Папакириакопулос в 1956 г., наряду с леммой Дена и Теорема о сфере.

Простая и полезная версия теоремы о петле утверждает, что если для некоторого трехмерного многообразия M с границей ∂M есть карта

${displaystyle fcolon (D^{2},partial D^{2}) o (M,partial M)}$

с участием ${displaystyle f|partial D^{2}}$ не нулевой гомотопный в ${displaystyle partial M}$, то есть вложение с таким же свойством.

Следующая версия теоремы о петле, в силу Джон Столлингс, дается в стандартных трактатах о трехмерных многообразиях (таких как Гемпель или Жако):

Позволять ${displaystyle M}$ быть 3-х коллекторный и разреши ${displaystyle S}$быть связной поверхностью в ${displaystyle partial M}$. Позволять ${displaystyle Nsubset pi _{1}(S)}$ быть нормальная подгруппа такой, что ${displaystyle mathop {mathrm {ker} } (pi _{1}(S) o pi _{1}(M))-Neq emptyset }$.Позволять

${displaystyle fcolon D^{2} o M}$

быть непрерывная карта такой, что

${displaystyle f(partial D^{2})subset S}$

и

${displaystyle [f|partial D^{2}]otin N.}$

Тогда существует встраивание

${displaystyle gcolon D^{2} o M}$

такой, что

${displaystyle g(partial D^{2})subset S}$

и

${displaystyle [g|partial D^{2}]otin N.}$

Кроме того, если начать с карты ж общего положения, то для любой окрестности U множества особенностей ж, мы можем найти такой г с изображением, лежащим внутри объединения изображений ж и ты.

Доказательство Столлинга использует адаптацию, из-за Уайтхеда и Шапиро, «башенного строительства» Папакириакопулоса. Под «башней» понимается особая последовательность покрытий, предназначенная для упрощения подъемов данной карты. Та же самая башня была использована Папакириакопулосом, чтобы доказать теорема о сфере (3-многообразия), который утверждает, что нетривиальное отображение сферы в трехмерное многообразие влечет существование нетривиального встраивание сферы. Существует также версия леммы Дена для минимальных дисков, принадлежащая Миксу и С.-Т. Яу, который также во многом зависит от конструкции башни.

Существует доказательство первой версии теоремы о петле, не использующее конструкцию башни. По сути, это было сделано 30 лет назад Фридхельм Вальдхаузен как часть его решения проблемы слова для Многообразия Хакена; хотя он признал, что это дает доказательство теоремы о петле, он не написал подробного доказательства. Существенным ингредиентом этого доказательства является концепция Иерархия Хакена. Доказательства были позже написаны Клаус Йохансон, Марк Лакенби, и Иэн Эйчисон с Хьям Рубинштейн.

использованная литература

• В. Жако, Лекции по топологии 3-многообразий, A.M.S. серия региональных конференций по математике 43.
• Дж. Хемпель, 3-х коллектор, Princeton University Press, 1976.
• Хэтчер, Замечания по базовой топологии 3-многообразий, доступно онлайн